2010-广东卷文-19 解-线性规划应用

本题导读

考查线性规划应用。设午餐 $x$ 个单位、晚餐 $y$ 个单位，约束：$12x+8y⩾64$、$6x+6y⩾42$、$6x+10y⩾54$，$x,y⩾0$。目标 $z=2.5x+4y$ 最小。可行域顶点检验得 $x=4,y=3$ 时 $z=2.5\times 4+4\times 3=22$ 最小，故订 4 单位午餐、3 单位晚餐。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(文)） 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐. 已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物、6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C；一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物、6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C. 另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物、42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设午餐 $x$ 个单位、晚餐 $y$ 个单位，把三种营养的最低需求写成不等式约束。
2. 目标函数为总费用 $z=2.5x+4y$，在可行域上求最小值。
3. 画可行域找顶点，逐个代入目标函数比较。

✅【答案】

点击查看答案

预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐

✍【详细解析】

Abstract

设预订午餐 $x$ 个单位、晚餐 $y$ 个单位，则 $x,y⩾0$，且 碳水化合物：$12x+8y⩾64$，即 $3x+2y⩾16$；① 蛋白质：$6x+6y⩾42$，即 $x+y⩾7$；② 维生素 C：$6x+10y⩾54$，即 $3x+5y⩾27$.③ 总费用 $z=2.5x+4y$. 由②得 $y⩾7-x$，代入①：$3x+2(7-x)⩾16$，即 $x⩾2$； 代入③：$3x+5(7-x)⩾27$，即 $x⩽4$，故 $2⩽x⩽4$. 分别检验 $x=2,3,4$（$y=7-x$）： $x=2$，$y=5$：$z=2.5\times 2+4\times 5=25$； $x=3$，$y=4$：$z=2.5\times 3+4\times 4=23.5$； $x=4$，$y=3$：$z=2.5\times 4+4\times 3=22$. 故当 $x=4$，$y=3$ 时费用最小. 所以应预订 4 个单位的午餐和 3 个单位的晚餐.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划的实际应用

核心方法：设午餐 $x$、晚餐 $y$，约束 $3x+2y⩾16$、$x+y⩾7$、$3x+5y⩾27$，目标 $z=2.5x+4y$ 最小，顶点检验得 $x=4,y=3$

避坑指南：三类营养都要列不等式，别漏；目标函数最小在可行域顶点取得，逐个顶点代入比较即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划应用题：设变量、列约束、定目标、求最值四步。

结论推广：约束写成”至少/至多”对应 $⩾/⩽$；目标函数 $z$ 线性，最值在顶点。

方法推广：先约分化简各约束，再找可行域顶点（两两联立），逐个代目标函数取最优。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-08 单-导数单调区间
• 2011-广东卷文-21 解-抛物线轨迹与最值
• 2009-重庆卷文-20 解-双曲线定义最值
• 2009-新课标卷文-06 单-线性规划开区域