2009-重庆卷文-20 解-双曲线定义最值

本题导读

考查双曲线定义与最值。（1）$a=1$，$c=\sqrt{5}$，$b^2=4$，方程 $x^2-\frac{y^2}{4}=1$；（2）$|MA|+|MB|⩾|F{O}_1|+1=\sqrt{10}+1$，等号在 $M$ 为线段 $F{O}_1$ 与双曲线交点 $\left(\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3},\frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}\right)$ 时取得。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 已知以原点 $O$ 为中心的双曲线的一条准线方程为 $x=\frac{\sqrt{5}}{5}$，离心率 $e=\sqrt{5}$.

(1)求该双曲线的方程；

(2)如图，点 $A$ 的坐标为 $(-\sqrt{5},0)$，$B$ 是圆 $x^2+(y-\sqrt{5}{)}^2=1$ 上的点，点 $M$ 在双曲线右支上，求 $|MA|+|MB|$ 的最小值，并求此时 $M$ 点的坐标.

🔍【思路分析】

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1.（1）准线 $x=\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，$e=\sqrt{5}$，得 $a=1$，$c=\sqrt{5}$，$b^2=4$。 2. 双曲线：$x^2-\frac{y^2}{4}=1$，$A(-\sqrt{5},0)$ 即左焦点。 3.（2）记右焦点 $F(\sqrt{5},0)$，圆心 $O_1(0,\sqrt{5})$。$|MA|-|MF|=2$。 4. $|MB|⩾|M{O}_1|-1$，故 $|MA|+|MB|⩾|MF|+|M{O}_1|+1⩾|F{O}_1|+1=\sqrt{10}+1$。 5. 取 $M$ 在线段 $F{O}_1$（$x+y=\sqrt{5}$）与双曲线的交点上：$3x^2+2\sqrt{5}x-9=0$。 6. $x=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3}$（舍负根），$y=\frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}$，等号可取。

✅【答案】

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(1) $x^2-\frac{y^2}{4}=1$；(2)最小值 $\sqrt{10}+1$，此时 $M\left(\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3},\frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦半距为 $c$。 由于准线方程为 $x=\frac{a}{e}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，且 $e=\sqrt{5}$，所以 $a=e\cdot \frac{\sqrt{5}}{5}=1$。 于是 $c=ae=\sqrt{5}$，并且 $b^2=c^2-a^2=5-1=4$。故双曲线方程为 $x^2-\frac{y^2}{4}=1.$ （2）记双曲线右焦点为 $F(\sqrt{5},0)$，圆心为 $O_1(0,\sqrt{5})$。对双曲线右支上的点 $M$，由双曲线的定义， $|MA|-|MF|=2a=2.$ 又因为圆的半径为 $1$，所以 $|MB|⩾|M{O}_1|-1$，等号在 $B$ 是从 $O_1$ 指向 $M$ 的射线与圆的交点时取得。因此 $|MA|+|MB|⩾|MF|+|M{O}_1|+1⩾|F{O}_1|+1=\sqrt{(\sqrt{5}{)}^2+(\sqrt{5}{)}^2}+1=\sqrt{10}+1.$ 下面说明等号可以取得。取 $M$ 在线段 $F{O}_1$ 上，则其坐标满足 $x+y=\sqrt{5}$。将 $y=\sqrt{5}-x$ 代入双曲线方程，得 $x^2-\frac{(\sqrt{5}-x{)}^2}{4}=1,\text{即}3x^2+2\sqrt{5}x-9=0,$ 解得 $x=\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3}$ 或 $x=\frac{-4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{3}$。 取在线段 $F{O}_1$ 上的交点，得到 $M\left(\frac{4\sqrt{2}-\sqrt{5}}{3},\frac{4(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3}\right).$ 此时 $M$ 在双曲线右支上，且 $M$ 位于 $F,O_1$ 之间；再取圆上满足 $O_{1}B$ 与 $O_{1}M$ 同向且 $|O_{1}B|=1$ 的点，即可同时取得上述两个三角不等式的等号。 因此 $|MA|+|MB|$ 的最小值为 $\sqrt{10}+1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线定义与折线最值

核心方法：$|MA|=|MF|+2$ 转化，$|MB|⩾|M{O}_1|-1$，折线大于等于直线段

避坑指南：两个放缩的等号条件必须相容：$M$ 在线段 $F{O}_1$ 上且 $B$ 在射线 $O_{1}M$ 上，验证交点在右支是关键一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：准线 $x=\frac{a}{e}$ 与 $e$ 联立出 $a$，别背错成 $\frac{a^2}{c}$ 与 $\frac{c}{a}$。

结论推广：“圆锥曲线上点到两定点距离和的最值”常借助定义把动点转到焦点。

方法推广：交点两根取正舍负，并检验 $M$ 介于 $F$ 与 $O_1$ 之间（等号可达）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-19 解-双曲线准线与中点
• 2009-上海卷文-22 解-双曲线平行线距离
• 2009-大纲卷I文-05 单-双曲线渐近线离心率
• 2009-大纲卷II文-08 单-双曲线渐近线切圆