2009-广东卷文-08 单-导数单调区间

本题导读

考查导数应用。$f^{\prime }(x)=(x-2){\mathrm{e}}^x$，${\mathrm{e}}^x>0$，增区间 $(2,+\infty )$，选 D。

📌【题干】

Question

（2009年广东卷(文)） 函数 $f(x)=(x-3){\mathrm{e}}^x$ 的单调递增区间是 ()

A. $(-\infty ,2)$　　　　　B. $(0,3)$　　　　　C. $(1,4)$　　　　　D. $(2,+\infty )$

🔍【思路分析】

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1. $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+(x-3){\mathrm{e}}^x=(x-2){\mathrm{e}}^x$。
2. ${\mathrm{e}}^x>0$ 恒成立，$f^{\prime }(x)>0⟺x>2$。
3. 增区间为 $(2,+\infty )$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=(x-3){\mathrm{e}}^x$，所以 $f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+(x-3){\mathrm{e}}^x=(x-2){\mathrm{e}}^x$。 由于 ${\mathrm{e}}^x>0$，当 $x>2$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，函数单调递增， 故单调递增区间为 $(2,+\infty )$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的乘法法则与单调区间

核心方法：$(u{\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }=(u+u^{\prime }){\mathrm{e}}^x$，$f^{\prime }(x)=(x-2){\mathrm{e}}^x$

避坑指南：${\mathrm{e}}^x>0$ 恒成立，符号只看 $x-2$；增区间 $(2,+\infty )$ 与选项 D 对应。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含 ${\mathrm{e}}^x$ 的乘积求导：两项相加后提取公因式 ${\mathrm{e}}^x$。

结论推广：单调区间必须写成区间形式并注意定义域（本题全域）。

方法推广：验证：$f(3)>f(2)$？$0\cdot {\mathrm{e}}^3=0>(-1){\mathrm{e}}^2$，增区间自洽。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-21 解-导数单调与切线
• 2009-北京卷文-18 解-导数切线与极值
• 2009-天津卷文-10 单-导数构造恒成立
• 2009-大纲卷II文-21 解-导数单调与恒成立