2010-广东卷理-21 解-绝对值不等式

本题导读

本题为新定义创新压轴题，引入“折线距离”（即曼哈顿距离），考查绝对值不等式的性质、等号成立条件及其几何意义的应用。

📌【题干】

Question

（2010年广东卷(理)） 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 是平面直角坐标系 $xOy$ 上的两点，现定义由点 $A$ 到点 $B$ 的一种折线距离 $\rho (A,B)$ 为 $\rho (A,B)=|x_2-x_1|+|y_2-y_1|$.对于平面 $xOy$ 上给定的不同的两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，

(1) 若点 $C(x,y)$ 是平面 $xOy$ 上的点，试证明 $\rho (A,C)+\rho (C,B)\ge \rho (A,B)$；

(2) 在平面 $xOy$ 上是否存在点 $C(x,y)$，同时满足① $\rho (A,C)+\rho (C,B)=\rho (A,B)$；② $\rho (A,C)=\rho (C,B)$.若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明.

🔍【思路分析】

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1. 利用绝对值三角不等式 $|a|+|b|\ge |a+b|$，分别对横坐标与纵坐标差值进行放缩证明。
2. 分析条件①的等号成立条件：$C$ 点必须位于以 $A,B$ 为对角顶点的矩形区域内（含边界）。
3. 结合条件②，将两式联立化简为 $\rho (A,C)=\frac{1}{2}\rho (A,B)$，结合坐标取值范围求出所有符合条件的点 $C(x,y)$ 的集合（即一条线段）。

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存在符合条件的点 $C(x,y)$，其集合为满足以下条件的点集中：$$\left{ (x,y) ;\middle|; (x - x_1)(x_2 - x) \ge 0, ; (y - y_1)(y_2 - y) \ge 0, ; |x - x_1| + |y - y_1| = \fr

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 由定义，$\rho (A,C)=|x-x_1|+|y-y_1|$，$\rho (C,B)=|x_2-x|+|y_2-y|$。 则： $\rho (A,C)+\rho (C,B)=(|x-x_1|+|x_2-x|)+(|y-y_1|+|y_2-y|)$ 由绝对值三角不等式 $|a|+|b|\ge |a+b|$，得： $|x-x_1|+|x_2-x|\ge |(x-x_1)+(x_2-x)|=|x_2-x_1|$ $|y-y_1|+|y_2-y|\ge |(y-y_1)+(y_2-y)|=|y_2-y_1|$ 两式相加即得： $\rho (A,C)+\rho (C,B)\ge |x_2-x_1|+|y_2-y_1|=\rho (A,B)$ 证毕。

(2) 解：存在符合条件的点 $C(x,y)$。

由 (1) 的证明可知，条件① $\rho (A,C)+\rho (C,B)=\rho (A,B)$ 成立的充要条件是： $\{\begin{array}{l}(x-x_1)(x_2-x)\ge 0\\ (y-y_1)(y_2-y)\ge 0\end{array}$ 即 $x$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，$y$ 介于 $y_1$ 与 $y_2$ 之间（即点 $C$ 位于以 $A,B$ 为相对顶点的矩形内部及边界上）。

在此条件下，$|x-x_1|+|x_2-x|=|x_2-x_1|$ 且 $|y-y_1|+|y_2-y|=|y_2-y_1|$。 由条件①和②可得： $\rho (A,C)=\rho (C,B)=\frac{1}{2}\rho (A,B)=\frac{1}{2}(|x_2-x_1|+|y_2-y_1|)$ 即： $|x-x_1|+|y-y_1|=\frac{1}{2}(|x_2-x_1|+|y_2-y_1|)$

不妨设 $x_1\le x_2$，具体分情况表示符合条件的点 $C(x,y)$ 的集合：

1. 当 $(x_2-x_1)(y_2-y_1)\ge 0$ 时（即 $A,B$ 连线斜率非负或平行于坐标轴）： 若 $x_1\le x_2$ 且 $y_1\le y_2$，则 $x_1\le x\le x_2$ 且 $y_1\le y\le y_2$。 此时 $|x-x_1|=x-x_1$，$|y-y_1|=y-y_1$。 方程化简为： $(x-x_1)+(y-y_1)=\frac{1}{2}(x_2-x_1+y_2-y_1)⟹x+y=\frac{x_1+x_2+y_1+y_2}{2}$ 此时点 $C(x,y)$ 的轨迹为连接点 $\left(x_1,\frac{y_1+y_2+x_2-x_1}{2}\right)$ 与点 $\left(x_2,\frac{y_1+y_2-x_2+x_1}{2}\right)$ 的线段（在矩形范围内的部分）。

2. 当 $(x_2-x_1)(y_2-y_1)<0$ 时（即 $A,B$ 连线斜率为负）： 若 $x_1\le x_2$ 且 $y_1>y_2$，则 $x_1\le x\le x_2$ 且 $y_2\le y\le y_1$。 此时 $|x-x_1|=x-x_1$，$|y-y_1|=y_1-y$。 方程化简为： $(x-x_1)+(y_1-y)=\frac{1}{2}(x_2-x_1+y_1-y_2)⟹x-y=\frac{x_1+x_2-y_1-y_2}{2}$ 此时点 $C(x,y)$ 的轨迹同样为矩形内满足该直线方程的线段。

综上所述，存在符合条件的点 $C(x,y)$，其集合为满足以下条件的点集中： $\left\{(x,y)|(x-x_1)(x_2-x)\ge 0,(y-y_1)(y_2-y)\ge 0,|x-x_1|+|y-y_1|=\frac{\rho (A,B)}{2}\right\}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：曼哈顿距离的性质、绝对值不等式三角不等式及等号成立条件。
2. 核心方法：等价转化法，将折线距离转换为直角坐标系下横纵坐标差的绝对值求和，利用区间约束化简绝对值。
3. 避坑指南：第 (2) 问容易漏掉条件①带来的“点 $C$ 在矩形区域内”这一限制；误以为符合条件的点 $C$ 只有线段 $AB$ 的中点（欧氏距离中点），忽略了折线距离下中点轨迹是一条线段而非单一点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于泛函分析与度量空间中的“曼哈顿距离”（Manhattan Distance / $L_1$ 距离），是高考数学将高等数学背景初等化的创新经典题。
2. 结论推广：在 $L_1$ 度量下，两点之间的“中点”不是唯一的点，而是一条斜率为 $\pm 1$ 的线段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-15 填-三角形不等式
• 2013-辽宁卷文-21 解-三角不等式与恒成立
• 2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式