2010-新课标卷文-02 单-向量夹角余弦

本题导读

考查向量坐标运算与夹角。$\mathbf{b}=(3,18)-2(4,3)=(-5,12)$，$\cos \theta =\frac{-20+36}{5\times 13}=\frac{16}{65}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 已知 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 为平面向量，若 $\mathbf{a}=(4,3)$，$2\mathbf{a}+\mathbf{b}=(3,18)$，则 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 夹角的余弦值等于()

A. $\frac{8}{65}$　　　　　B. $-\frac{8}{65}$　　　　　C. $\frac{16}{65}$　　　　　D. $-\frac{16}{65}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\mathbf{b}=(2\mathbf{a}+\mathbf{b})-2\mathbf{a}=(3,18)-(8,6)=(-5,12)$。
2. $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=4\times (-5)+3\times 12=16$。
3. $|\mathbf{a}|=5$，$|\mathbf{b}|=13$，$\cos \theta =\frac{16}{65}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由 $2\mathbf{a}+\mathbf{b}=(3,18)$ 及 $\mathbf{a}=(4,3)$，得 $\mathbf{b}=(3,18)-2(4,3)=(-5,12).$ 于是 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=\frac{4\times (-5)+3\times 12}{\sqrt{4^2+3^2}\times \sqrt{(-5{)}^2+12^2}}=\frac{16}{5\times 13}=\frac{16}{65}.$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的坐标运算与夹角公式

核心方法：先解出 $\mathbf{b}$，再套 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$

避坑指南：$\mathbf{b}=(2\mathbf{a}+\mathbf{b})-2\mathbf{a}$，数乘向量要逐分量乘 $2$，别只乘一个分量。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量夹角公式是数量积定义的变形，坐标化后纯代数运算。

结论推广：$|\mathbf{b}|=\sqrt{(-5{)}^2+12^2}=13$，$5$、$12$、$13$ 是常用勾股数。

方法推广：夹角余弦的符号由数量积决定，正为锐角、负为钝角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2009-辽宁卷文-04 单-向量模与夹角
• 2009-新课标卷文-17 解-海域测量向量夹角
• 2009-广东卷文-03 单-向量坐标和