2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角

本题导读

考查向量夹角。对 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|$ 两边平方，得 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-\frac{r^2}{2}$，即夹角余弦为 $-\frac{1}{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 设非零向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$，$\mathbf{c}$ 满足 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|$，$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{c}$，则 $⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩=$ ()

A. $150^{\circ }$　　　　　　B. $120^{\circ }$　　　　　　C. $60^{\circ }$　　　　　　D. $30^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 记 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=r$。
2. 对 $|\mathbf{c}{|}^2=|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2$ 展开：$r^2=2r^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}$。
3. 得 $\cos \theta =-\frac{1}{2}$，$\theta =120^{\circ }$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $\theta =⟨\mathbf{a},\mathbf{b}⟩$，记 $|\mathbf{a}|=|\mathbf{b}|=|\mathbf{c}|=r$（$r>0$）。由 $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 得 $r^2=|\mathbf{c}{|}^2=|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=r^2+r^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b},$ 所以 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=-\frac{r^2}{2}$，从而 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}=-\frac{1}{2}.$ 因此 $\theta =120^{\circ }$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的模与夹角

核心方法：等模长设元 + 模平方展开

避坑指南：$|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2$ 展开时数量积系数为 $2$；由 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=\mathbf{c}$ 且等模长隐含夹角为钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量模与夹角的互化是平面向量核心考点。

结论推广：$|\mathbf{u}{|}^2=\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}$；模长条件一律先平方。

方法推广：三个向量等模长时设 $r$ 统一约去，避免解不出。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2011-湖北卷文-02 单-向量夹角
• 2014-山东卷文-07 单-向量夹角
• 2011-浙江卷文-15 填-向量夹角范围