2007-辽宁卷文-04 单-向量数量积与夹角

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及向量夹角。

📌【题干】

Question

（2007年辽宁卷(文)） 若向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 不共线，$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}\ne 0$，且 $\mathbf{c}=\mathbf{a}-\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}\mathbf{b}$，则向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{c}$ 的夹角为 ()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{6}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{2}$

🔍【思路分析】

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1. 直接算 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}$：把 $\mathbf{c}$ 的表达式代入展开。
2. 说明 $\mathbf{c}\ne 0$（否则夹角无定义）：若 $\mathbf{c}=0$ 则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线，矛盾。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

代入展开： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}-\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=0.$ 若 $\mathbf{c}=0$，则 $\mathbf{a}=\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}\mathbf{b}$，即 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线，与题设矛盾，故 $\mathbf{c}\ne 0$． 于是 $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$，夹角为 $\frac{\pi }{2}$，选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积与夹角

核心方法：数量积展开证 a·c=0

避坑指南：夹角 90° 需两向量均非零：由 a 与 b 不共线推出 c≠0 这一步不能省，否则夹角无定义

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”平面向量的数量积”

结论推广：c=a-[(a·a)/(a·b)]b 是 a 向 b 方向投影后的残差向量，恒与 a 垂直

方法推广：“投影剩余”结构 c=a-(a·e)e 是构造垂线的通用手段

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2009-大纲卷I文-08 单-向量夹角
• 2010-新课标卷文-02 单-向量夹角余弦
• 2011-湖北卷文-02 单-向量夹角
• 2008-北京卷文-11 填-向量数量积定义