2010-新课标卷文-04 单-三次函数切线

本题导读

考查切线。$y^{\prime }=3x^2-2$，$x=1$ 处斜率为 $1$，切线 $y=x-1$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 曲线 $y=x^3-2x+1$ 在点 $(1,0)$ 处的切线方程为()

A. $y=x-1$　　　　B. $y=-x+1$　　　　C. $y=2x-2$　　　　D. $y=-2x+2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y^{\prime }=3x^2-2$。
2. $x=1$ 时斜率 $k=3-2=1$。
3. 点斜式：$y-0=1\times (x-1)$，即 $y=x-1$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=x^3-2x+1$，得 $y^{\prime }=3x^2-2$， 在点 $(1,0)$ 处的切线斜率为 $3\times 1^2-2=1$， 切线方程为 $y=x-1$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义与切线方程

核心方法：求导、代切点横坐标得斜率、点斜式

避坑指南：切点是 $(1,0)$，先验证 $1^3-2\times 1+1=0$ 成立；斜率 $k=y^{\prime }{|}_{x=1}=1$ 不是 $3$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线三要素：切点、斜率（导数）、点斜式，是导数最直接的应用。

结论推广：三次函数求导为二次函数，代值即可，无需解方程。

方法推广：四个选项截距相同斜率不同，算出斜率即定答案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-13 填-指数曲线切线
• 2009-江苏卷-09 填-切线求点
• 2011-重庆卷文-03 单-导数切线
• 2012-新课标卷文-13 填-导数切线方程