2011-重庆卷文-03 单-导数切线

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程。

📌【题干】

Question

（2011年重庆卷(文)） 曲线 $y=-x^3+3x^2$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程为 ()

A. $y=3x-1$　　　　B. $y=-3x+5$　　　　C. $y=3x+5$　　　　D. $y=2x$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：求 $y^{\prime }=-3x^2+6x$
2. 步骤2：代入 $x=1$ 得斜率
3. 步骤3：再用点斜式写切线

✅【答案】

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$y=3x-1$。选 \textbf{A}

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=-x^3+3x^2$，得 $y^{\prime }=-3x^2+6x$。 当 $x=1$ 时，$y^{\prime }=3$，即切线斜率 $k=3$。 切线方程为 $y-2=3(x-1)$，即 $y=3x-1$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数 $y^{\prime }{|}_{x=x_0}$ 的几何意义：曲线在点 $(x_0,y_0)$ 处切线的斜率。

核心方法：求导 → 代入切点横坐标得斜率 → 点斜式写方程。

避坑指南：切点 $(1,2)$ 必须直接使用（可先验证 $2=-1+3$ 成立），不要把切点纵坐标也去求导；选项 C 的截距符号是常见笔误陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三次多项式在指定点求切线是导数几何意义的最基础考查，与 2011 湖南文 07、2012 新课标Ⅰ文 13 同型。

结论推广：切线与曲线的公共点个数不定（切点处相切，还可能另有交点），「切线」不等于「只有一个交点」。

方法推广：写切线方程后，可将切点代入方程验算：$3\times 1-1=2$ 成立，五秒自检防笔误。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-07 单-切线斜率
• 2012-新课标卷文-13 填-导数切线方程
• 2011-山东卷文-04 单-导数切线截距