2010-新课标卷理-09 单-三角函数

本题导读

考查根据已知余弦值及象限条件，求半角切值及相关三角式的值。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 若 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，$\alpha$ 是第三象限的角，则 $\frac{1+\tan \frac{\alpha }{2}}{1-\tan \frac{\alpha }{2}}=$()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $-2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\alpha$ 是第三象限角，推出 $\frac{\alpha }{2}$ 所在的象限及 $\tan \frac{\alpha }{2}$ 的正负。
2. 利用半角正切公式 $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$ 或 ${\tan }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }$ 求出 $\tan \frac{\alpha }{2}$。
3. 代入目标分式求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$ 是第三象限的角，即： $2k\pi +\pi <\alpha <2k\pi +\frac{3\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$

所以： $k\pi +\frac{\pi }{2}<\frac{\alpha }{2}<k\pi +\frac{3\pi }{4}(k\in \mathbb{Z})$ 故 $\frac{\alpha }{2}$ 为第二或第四象限角，且在其对应的范围内 $\tan \frac{\alpha }{2}<0$。

因为 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，且 $\alpha$ 为第三象限角，所以： $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=-\frac{3}{5}$

利用半角公式求 $\tan \frac{\alpha }{2}$： $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{-\frac{3}{5}}=\frac{\frac{9}{5}}{-\frac{3}{5}}=-3$

将 $\tan \frac{\alpha }{2}=-3$ 代入所求式子： $\frac{1+\tan \frac{\alpha }{2}}{1-\tan \frac{\alpha }{2}}=\frac{1+(-3)}{1-(-3)}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：半角公式 $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{\sin \alpha }{1+\cos \alpha }=\frac{1-\cos \alpha }{\sin \alpha }$。
2. 核心方法：先求出单角的正弦、余弦，再由半角公式直接求正切，避免符号判断错误。
3. 避坑指南：注意目标式也可化简为 $\tan \left(\frac{\pi }{4}+\frac{\alpha }{2}\right)$，但直接代入 $\tan \frac{\alpha }{2}$ 计算更为稳妥。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查三角恒等变换中的半角公式与切化弦技巧。
2. 结论推广：万能公式 $\sin \alpha =\frac{2t}{1+t^2},\cos \alpha =\frac{1-t^2}{1+t^2}$（其中 $t=\tan \frac{\alpha }{2}$）是三角代换的重要桥梁。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数