2010-新课标卷理-12 单-双曲线

本题导读

考查双曲线中的“中点弦”问题，利用“点差法”建立斜率与双曲线几何参数的关系是解题的核心捷径。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(理)） 已知双曲线 $E$ 的中心为原点，$F(3,0)$ 是 $E$ 的焦点，过 $F$ 的直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $A,B$ 两点，且 $AB$ 的中点为 $N(-12,-15)$，则 $E$ 的方程为()

A. $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$　　　　　　　　　　　　　　B. $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$

C. $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{4}=1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由焦点 $F(3,0)$，可设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，且 $a^2+b^2=c^2=9$。
2. 求出直线 $l$ 的斜率 $k_{AB}$：利用已知两点 $F(3,0)$ 与 $N(-12,-15)$ 求解。
3. 利用点差法，导出 $k_{AB}\cdot k_{ON}=\frac{b^2}{a^2}$。
4. 结合 $a^2+b^2=9$ 求出 $a^2,b^2$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为焦点为 $F(3,0)$，焦点在 $x$ 轴上，设双曲线方程为： $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 且 $c=3⟹a^2+b^2=9$ ①

直线 $l$ 过点 $F(3,0)$ 和 $N(-12,-15)$，其斜率为： $k_{AB}=\frac{-15-0}{-12-3}=\frac{-15}{-15}=1$

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，代入双曲线方程作差（点差法）： $\frac{x_1^2-x_2^2}{a^2}-\frac{y_1^2-y_2^2}{b^2}=0⟹\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{a^2}=\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{b^2}$

整理得： $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\cdot \frac{y_1+y_2}{x_1+x_2}=\frac{b^2}{a^2}$

因为 $AB$ 的中点为 $N(-12,-15)$，故 $x_1+x_2=-24$，$y_1+y_2=-30$。 中点连线 $ON$ 的斜率为： $k_{ON}=\frac{-15}{-12}=\frac{5}{4}$

代入点差法公式： $k_{AB}\cdot k_{ON}=\frac{b^2}{a^2}⟹1\cdot \frac{5}{4}=\frac{b^2}{a^2}⟹b^2=\frac{5}{4}{a}^2$ ②

将 ② 代入 ①： $a^2+\frac{5}{4}{a}^2=9⟹\frac{9}{4}{a}^2=9⟹a^2=4$ 进一步得： $b^2=5$

因此，双曲线方程为 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线中点弦的点差法公式 $k_{AB}\cdot k_{ON}=\frac{b^2}{a^2}$。
2. 核心方法：利用焦点确定 $c^2$，利用点差法建立斜率与几何量关系，列方程组求解 $a^2,b^2$。
3. 避坑指南：注意椭圆的点差法公式中右端项为 $-\frac{b^2}{a^2}$，而双曲线的点差法公式中右端项为 $+\frac{b^2}{a^2}$，切勿记混符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解析几何中的经典“中点弦”模型，考查点差法的高效运用。
2. 结论推广：对于中心在原点的圆锥曲线 $A{x}^2+B{y}^2=1$，若弦 $AB$ 中点为 $M(x_0,y_0)$，则弦斜率 $k_{AB}$ 与 $OM$ 斜率 $k_{OM}$ 满足 $k_{AB}\cdot k_{OM}=-\frac{A}{B}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-03 填-双曲线
• 2011-上海卷理-23 解-双曲线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线