2010-江苏卷-10 填-三角图象交点

本题导读

考查三角图象交点。$6{\sin }^{2}x+5\sin x-6=0$，$\sin x=\frac{2}{3}$，$|P_1{P}_2|=\frac{2}{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 定义在区间 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上的函数 $y=6\cos x$ 的图象与 $y=5\tan x$ 的图象的交于点 $P$，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $P_1$，直线 $P{P}_1$ 与 $y=\sin x$ 的图象交于点 $P_2$，则线段 $P_1{P}_2$ 的长为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 交点 $P$：$6\cos x=5\tan x\Rightarrow 6{\cos }^{2}x=5\sin x$。
2. $6(1-{\sin }^{2}x)=5\sin x$，即 $6{\sin }^{2}x+5\sin x-6=0$。
3. 解得 $\sin x=\frac{2}{3}$（舍负根）。
4. $P_1{P}_2$ 即 $y=\sin x$ 在该横坐标处的函数值 $\frac{2}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设交点 $P$ 的横坐标为 $x_0\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，则 $6\cos x_0=5\tan x_0\Rightarrow 6{\cos }^2{x}_0=5\sin x_0\Rightarrow 6{\sin }^2{x}_0+5\sin x_0-6=0,$ 解得 $\sin x_0=\frac{2}{3}$（负根 $-\frac{3}{2}$ 舍去）。 直线 $P{P}_1$ 是过 $x_0$ 的竖直线，$P_2$ 在其与 $y=\sin x$ 图象的交点处， $P_1$ 在 $x$ 轴上，故 $|P_1{P}_2|=\sin x_0=\frac{2}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象的交点

核心方法：交点条件化为 $\sin x$ 的二次方程

避坑指南：$6\cos x=5\tan x$ 两边同乘 $\cos x$（在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上为正）得 $6{\cos }^{2}x=5\sin x$；$\sin x=-\frac{3}{2}$ 超出值域必须舍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：图象交点问题即方程求解，竖直线上的线段长即函数值之差。

结论推广：${\sin }^2+{\cos }^2=1$ 是把 ${\cos }^2$ 换成 $\sin$ 的桥。

方法推广：二次方程在三角题中必有增根，值域检验不可省。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集
• 2009-天津卷文-07 单-三角图象平移对称
• 2009-新课标卷文-16 填-正弦图象定参求值
• 2009-大纲卷II文-09 单-正切图象平移重合