2010-江苏卷-17 解-电视塔测量建模

本题导读

考查测量建模。（1）$H=\frac{h\tan \alpha }{\tan \alpha -\tan \beta }=124$ m；（2）$d=\sqrt{125\times 121}=5\sqrt{605}$ m 时 $\alpha -\beta$ 最大。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 某兴趣小组测量电视塔 $AE$ 的高度 $H$（单位：$\mathrm{m}$）.如示意图，垂直放置的标杆 $BC$ 的高度 $h=4\mathrm{m}$，仰角 $\angle ABE=\alpha$，$\angle ADE=\beta$.

(1)该小组已经测得一组 $\alpha$、$\beta$ 的值，算出了 $\tan \alpha =1.24$，$\tan \beta =1.20$，请据此算出 $H$ 的值；

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离 $d$（单位：$\mathrm{m}$），使 $\alpha$ 与 $\beta$ 之差较大，可以提高测量精度.若电视塔实际高度为 $125\mathrm{m}$，试问 $d$ 为多少时，$\alpha -\beta$ 最大.

🔍【思路分析】

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1. $\tan \alpha =\frac{H}{d}$，$\tan \beta =\frac{h}{BD}=\frac{H}{BD+d}$。
2. 消去 $BD$：$H-h=\frac{\tan \beta }{\tan \alpha }H$，$H=\frac{h\tan \alpha }{\tan \alpha -\tan \beta }=124$。
3. $H=125$ 时 $BD=\frac{hd}{H-h}$，$\tan \beta =\frac{H-h}{d}=\frac{121}{d}$。
4. $\phi (d)=\arctan \frac{125}{d}-\arctan \frac{121}{d}$，${\phi }^{\prime }(d)$ 的零点 $d=\sqrt{125\times 121}$。

✅【答案】

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(1) $H=124\mathrm{m}$

(2) $d=5\sqrt{605}\mathrm{m}$ 时 $\alpha -\beta$ 最大

✍【详细解析】

Abstract

由图，点 $D,B,A$ 共线，点 $D,C,E$ 共线，$BC\perp DA$，$AE\perp DA$。记 $BD=x$。 （1）在直角三角形中，$\tan \beta =\frac{h}{x}=\frac{H}{x+d}$，$\tan \alpha =\frac{H}{d}$。 由前两式：$H-h=\tan \beta \cdot d$，又 $d=\frac{H}{\tan \alpha }$，故 $H-h=\frac{\tan \beta }{\tan \alpha }H\Rightarrow H=\frac{h\tan \alpha }{\tan \alpha -\tan \beta }=\frac{4\times 1.24}{1.24-1.20}=124\mathrm{m}.$ （2）由 $△DBC\sim △DAE$：$\frac{BD}{BD+d}=\frac{h}{H}$，解得 $BD=\frac{hd}{H-h}$。 于是 $\tan \alpha =\frac{H}{d}=\frac{125}{d},\tan \beta =\frac{h}{BD}=\frac{H-h}{d}=\frac{121}{d}.$ 令 $\phi (d)=\alpha -\beta =\arctan \frac{125}{d}-\arctan \frac{121}{d}(d>0),$ ${\phi }^{\prime }(d)=-\frac{125}{d^2+125^2}+\frac{121}{d^2+121^2}=\frac{4\left(125\times 121-d^2\right)}{\left(d^2+125^2\right)\left(d^2+121^2\right)}.$ 当 $0<d<\sqrt{125\times 121}$ 时 ${\phi }^{\prime }(d)>0$，当 $d>\sqrt{125\times 121}$ 时 ${\phi }^{\prime }(d)<0$。 故 $d=\sqrt{125\times 121}=5\sqrt{605}\mathrm{m}$ 时 $\alpha -\beta$ 最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：解三角形应用与导数最值

核心方法：两个直角三角形列方程；（2）构造函数求导找驻点

避坑指南：$H-h=\tan \beta \cdot d$ 中的 $d$ 与 $\tan \alpha =\frac{H}{d}$ 中的 $d$ 是同一个量，联立才能消元；${\phi }^{\prime }(d)=0$ 化简后是 $d^2=125\times 121$，几何均值结构。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：测量类应用题先画图、标已知、设未知，再找两个直角三角形。

结论推广：$\arctan \frac{a}{d}$ 型函数求导：${\left(\arctan \frac{a}{d}\right)}^{\prime }=-\frac{a}{d^2+a^2}$。

方法推广：最优距离为 $\sqrt{H(H-h)}$，即 $H$ 与 $H-h$ 的几何平均。

🔗【关联脉络】

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