2011-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理，以及二倍角与和角公式。

📌【题干】

Question

（2011年天津卷(文)） 在 $△ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 的对边分别为 $a$，$b$，$c$，已知 $B=C$，$2b=\sqrt{3}a$.

(1) 求 $\cos A$ 的值；

(2) 求 $\cos \left(2A+\frac{\pi }{4}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：由 $B=C$ 得 $b=c$
2. 步骤2：余弦定理求 $\cos A$
3. 步骤3：再由二倍角与两角和公式求值

✅【答案】

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(1) $\cos A=\frac{1}{3}$

(2) $\cos \left(2A+\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{8+7\sqrt{2}}{18}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $B=C$ 得 $b=c$。由 $2b=\sqrt{3}a$ 得 $a=\frac{2b}{\sqrt{3}}$。

余弦定理：$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{2b^2-\frac{4}{3}{b}^2}{2b^2}=\frac{1}{3}$。

(2) $0<A<\pi$，$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

$\cos 2A=2{\cos }^{2}A-1=-\frac{7}{9}$，$\sin 2A=2\sin A\cos A=\frac{4\sqrt{2}}{9}$。

$\cos \left(2A+\frac{\pi }{4}\right)=\cos 2A\cos \frac{\pi }{4}-\sin 2A\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{7}{9}-\frac{4\sqrt{2}}{9}\right)=-\frac{7\sqrt{2}}{18}-\frac{4}{9}=-\frac{8+7\sqrt{2}}{18}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等腰三角形的余弦定理；二倍角公式与两角和公式

核心方法：边角条件先化为 $b=c$ 的等腰结构，$\cos A$ 求出后沿 $\cos 2A\to \sin 2A\to$ 和角公式一条链算到底

避坑指南：$\sin A$ 取正（$0<A<\pi$）；展开 $\cos (2A+\frac{\pi }{4})$ 时”余余减正正”符号不要写反；最终结果是负值（$2A+\frac{\pi }{4}$ 略超 $\pi$），化为 $-\frac{8+7\sqrt{2}}{18}$ 时负号要提出括号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正余弦定理与二倍角题与 2012-天津卷文-16、2011-新课标卷文-07、2012-大纲卷文-04 同族。

结论推广：推广：$B=C⟺b=c$，此时 $\cos A=1-\frac{a^2}{2b^2}$；已知 $\cos A$ 可直接链式推出 $\cos 2A$、$\sin 2A$ 与任意和角值。

方法推广：解三角形求值题：先定结构（等腰/边比），求出核心三角函数后按公式链推进，中途保持分母一致便于合并。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角
• 2011-新课标卷文-07 单-二倍角余弦
• 2012-大纲卷文-04 单-二倍角与象限符号