2010-江西卷文-07 单-等比数列通项定号

本题导读

考查等比数列通项。$q^3=-8$ 得 $q=-2$；$a_5>a_2$ 且 $q=-2$ 定出 $a_1=1$，$a_n=(-2{)}^{n-1}$，选 A。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 等比数列 $\{a_n\}$ 中，$|a_1|=1$，$a_5=-8a_2$，$a_5>a_2$，则 $a_n$ 等于()

A. $(-2{)}^{n-1}$　　　　B. $-(-2{)}^{n-1}$　　　　C. $(-2{)}^n$　　　　D. $-(-2{)}^n$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_5=a_1{q}^4$，$a_2=a_{1}q$，$a_5=-8a_2\Rightarrow q^3=-8\Rightarrow q=-2$。
2. $a_5>a_2\Rightarrow a_1{q}^4>a_{1}q\Rightarrow a_1(q^4-q)>0$。$q=-2$ 时 $q^4-q=16+2=18>0$，故 $a_1>0$。
3. $|a_1|=1$ 且 $a_1>0\Rightarrow a_1=1$。
4. $a_n=(-2{)}^{n-1}$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

设公比为 $q$. 由 $a_5=-8a_2$，即 $a_1{q}^4=-8a_{1}q$，约去 $a_1\ne 0$ 得 $q^3=-8$，故 $q=-2$. 由 $a_5>a_2$ 得 $a_1{q}^4>a_{1}q$，即 $a_1(q^4-q)>0$. 当 $q=-2$ 时 $q^4-q=16-(-2)=18>0$， 故 $a_1>0$. 又 $|a_1|=1$，所以 $a_1=1$. 于是 $a_n=a_1{q}^{n-1}=(-2{)}^{n-1}.$ 故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列基本量与符号判定

核心方法：$a_5=-8a_2$ 除以 $a_2$ 得 $q^3=-8$；不等式定 $a_1$ 符号

避坑指南：$q=-2$ 时 $a_n$ 正负交错，$a_5>a_2$ 是定 $a_1=1$（而非 $-1$）的唯一抓手：$a_1=-1$ 时 $a_5=16<4=a_2$，与条件矛盾。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列中”一项的倍数关系”通常转化为公比的幂方程。

结论推广：$q^3=-8\Rightarrow q=-2$（实数范围内唯一），比取对数更快。

方法推广：通项含 $(-2{)}^{n-1}$ 的数列，比较大小必须分奇偶项讨论或用不等式整体定号。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-13 填-等比数列基本量
• 2011-辽宁卷文-05 单-等比数列公比符号
• 2012-安徽卷文-05 单-等比数列中项性质
• 2009-浙江卷文-11 填-等比数列求和比