2011-辽宁卷文-05 单-等比数列公比符号

本题导读

本题考查等比数列的公比，以及相邻项的递推关系。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 若等比数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_n{a}_{n+1}=16^n$，则公比为 ()

A. $2$　　　　　　　B. $4$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $16$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：写出 $a_{n+1}{a}_{n+2}=16^{n+1}$
2. 步骤2：两式相除得 $q^2=16$

✅【答案】

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B$4$

✍【详细解析】

Abstract

将 $n$ 换为 $n+1$：$a_{n+1}{a}_{n+2}=16^{n+1}$。

两式相除：$\frac{a_{n+1}{a}_{n+2}}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{a_{n+2}}{a_n}=q^2=16$。

由 $a_n{a}_{n+1}=16^n>0$，知相邻两项同号，故 $q=\frac{a_{n+1}}{a_n}>0$，$q=4$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的定义；公比与相邻项乘积的关系

核心方法：相邻两条件相除消去公共因子，把 $q$ 从 $q^2$ 中解出，再由符号定正负

避坑指南：$q^2=16$ 有 $q=\pm 4$ 两个代数解，但 $a_n{a}_{n+1}=16^n>0$ 强制相邻项同号，负公比会使相邻项变号，必须舍去 $q=-4$；直接开方取正不说明理由会丢逻辑分。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列公比题与 2011-广东卷文-11、2012-陕西卷文-16 同族。

结论推广：推广：$a_n{a}_{n+1}=f(n)$ 型条件，隔项相除得 $q^2$；若 $f(n)>0$ 则 $q>0$，若允许变号则需分 $q=\pm \sqrt{f}$ 讨论，符号信息藏在乘积的正负里。

方法推广：等比数列小题：见到 $a_n{a}_{n+1}$ 结构立即写下一项的等式相除；解出 $q^2$ 后必须用符号条件定 $q$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-广东卷文-11 填-等比数列公比
• 2012-陕西卷文-16 解-等比数列求和与等差证明