2009-大纲卷II文-13 填-等比数列基本量

本题导读

考查等比数列。$q=1$ 不满足，故 $\frac{S_6}{S_3}=1+q^3=4$，$q^3=3$，$a_4=a_1{q}^3=3$。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 设等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.若 $a_1=1$，$S_6=4S_3$，则 $a_4=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 若 $q=1$：$S_6=6\ne 4S_3=12$，舍去。
2. $q\ne 1$ 时 $S_6=S_3+q^3{S}_3$，即 $1+q^3=4$，$q^3=3$。
3. $a_4=a_1{q}^3=3$。

✅【答案】

点击查看答案

$3$

✍【详细解析】

Abstract

若 $q=1$，则 $S_6=6a_1=6$，$4S_3=12$，不满足 $S_6=4S_3$，故 $q\ne 1$。 由求和公式 $\frac{S_6}{S_3}=\frac{1-q^6}{1-q^3}=1+q^3=4,$ 得 $q^3=3$。故 $a_4=a_1{q}^3=1\times 3=3.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的前 n 项和

核心方法：分类 $q=1$ 与 $q\ne 1$ + 比式结构

避坑指南：$\frac{S_6}{S_3}=1+q^3$ 只在 $q\ne 1$ 时成立；$q=1$ 时 $S_6=2S_3$，与 $4S_3$ 不符，须先排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列求和必须先讨论 $q=1$，这是规范要求。

结论推广：$S_{2n}=S_n(1+q^n)$ 对任意等比数列成立（含 $q=1$ 的情形需单独验证）。

方法推广：看到 $S$ 的倍数关系，先问 $q$ 是否为 $1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷文-17 解-等比数列基本量
• 2011-广东卷文-11 填-等比数列公比
• 2009-新课标卷文-15 填-等比数列求和