2010-江西卷文-19 解-三角化简与值域

本题导读

考查三角化简与值域。$f(x)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$；(1) $f(\alpha )=\frac{3}{5}$；(2) $2x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{5\pi }{12},\frac{5\pi }{4}\right]$，范围 $\left[0,\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]$。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 已知函数 $f(x)=(1+\cot x){\sin }^{2}x-2\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

(1) 若 $\tan \alpha =2$，求 $f(\alpha )$；

(2) 若 $x\in \left[\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$，求 $f(x)$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. $\cot x\cdot {\sin }^{2}x=\sin x\cos x$；$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^{2}x-{\sin }^2\frac{\pi }{4}={\sin }^{2}x-\frac{1}{2}$。
2. $f(x)={\sin }^{2}x+\sin x\cos x-2{\sin }^{2}x+1={\cos }^{2}x+\sin x\cos x=\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{\sin 2x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。
3. (1) $\tan \alpha =2$：$\sin 2\alpha =\frac{4}{5}$，$\cos 2\alpha =-\frac{3}{5}$，$\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sin 2\alpha +\cos 2\alpha }{\sqrt{2}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10}$，$f(\alpha )=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{3}{5}$。
4. (2) $2x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{5\pi }{12},\frac{5\pi }{4}\right]$，$\sin$ 最大 $1$（$u=\frac{\pi }{2}$），最小 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$（$u=\frac{5\pi }{4}$）。
5. $f\in \left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2},\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right]=\left[0,\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]$。

✅【答案】

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(1) $f(\alpha )=\frac{3}{5}$

(2) $f(x)$ 的取值范围是 $\left[0,\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

先化简：$\cot x{\sin }^{2}x=\frac{\cos x}{\sin x}\cdot {\sin }^{2}x=\sin x\cos x$； 由 $\sin (A+B)\sin (A-B)={\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B$，取 $A=x$，$B=\frac{\pi }{4}$，得 $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)={\sin }^{2}x-\frac{1}{2}.$ 于是 $f(x)={\sin }^{2}x+\sin x\cos x-2{\sin }^{2}x+1={\cos }^{2}x+\sin x\cos x=\frac{1+\cos 2x}{2}+\frac{\sin 2x}{2}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right).$ (1) 由 $\tan \alpha =2$，得 $\sin 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=\frac{4}{5},\cos 2\alpha =\frac{1-{\tan }^2\alpha }{1+{\tan }^2\alpha }=-\frac{3}{5}.$ 故 $\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sin 2\alpha +\cos 2\alpha }{\sqrt{2}}=\frac{\frac{4}{5}-\frac{3}{5}}{\sqrt{2}}=\frac{1}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{10},$ $f(\alpha )=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \frac{\sqrt{2}}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}=\frac{3}{5}.$ (2) 当 $x\in \left[\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{2}\right]$ 时，$2x+\frac{\pi }{4}\in \left[\frac{5\pi }{12},\frac{5\pi }{4}\right]$. 正弦在该区间上的最大值在 $u=\frac{\pi }{2}$ 处取得，为 $1$；最小值在右端点 $u=\frac{5\pi }{4}$ 处取得，为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. 故 $f(x)\in \left[\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right),\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\times 1\right]=\left[0,\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right].$ 即 $f(x)$ 的取值范围是 $\left[0,\frac{1+\sqrt{2}}{2}\right]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角恒等变换与值域

核心方法：化简到 $f(x)=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$；(1) 万能公式代 $\tan \alpha =2$；(2) 整体代换求正弦范围

避坑指南：$\sin \left(2\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sin 2\alpha +\cos 2\alpha }{\sqrt{2}}$ 用的是展开式而非和角公式硬套；区间 $\left[\frac{5\pi }{12},\frac{5\pi }{4}\right]$ 跨过 $\frac{\pi }{2}$ 与 $\pi$，最大值在 $u=\frac{\pi }{2}$、最小值在右端点 $u=\frac{5\pi }{4}$，只看端点会漏掉峰值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含 $\cot x$ 与 $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的式子，分别用同角关系与 $\sin (A+B)\sin (A-B)={\sin }^{2}A-{\sin }^{2}B$ 降维。

结论推广：$a\sin u+b\cos u$ 化单一正弦后，闭区间值域按”区间是否含峰值点”两情形处理。

方法推广：$\tan \alpha$ 已知时 $\sin 2\alpha$、$\cos 2\alpha$ 的万能公式一对齐，免讨论象限。

🔗【关联脉络】

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