2008-福建卷文-17 解-向量垂直与值域

本题导读

(1) 由 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=0$ 直接得 $\sin A=2\cos A$；(2) 把 $\cos A=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ 代入，令 $t=\sin x\in [-1,1]$，化为开口向下的二次函数求最值，注意 $t=\cos A$ 可取到.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 已知向量 $\mathbf{m}=(\sin A,\cos A)$，$\mathbf{n}=(1,-2)$，且 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=0$.

(1) 求 $\tan A$ 的值；

(2) 求函数 $f(x)=\cos 2x+4\cos A\sin x$（$x\in \mathbf{R}$）的值域.

🔍【思路分析】

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(1) $\sin A-2\cos A=0\Rightarrow \tan A=2$. (2) $\cos A=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$f=1-2t^2+4\cos A\cdot t$（$t=\sin x\in [-1,1]$），对称轴 $t=\frac{1}{\sqrt{5}}$ 在区间内取最大 $\frac{7}{5}$；端点 $t=-1$ 给最小 $-1-\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

✅【答案】

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(1) $\tan A=2$；(2) 值域为 $\left[-1-\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{7}{5}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\mathbf{m}\cdot \mathbf{n}=0$，得 $\sin A-2\cos A=0$. 若 $\cos A=0$，则 $\sin A=0$，与 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 矛盾，故 $\cos A\ne 0$， 所以 $\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}=2$. (2) 由 $\sin A=2\cos A$ 及 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$，得 ${\cos }^{2}A=\frac{1}{5}$，且 $\sin A>0$，故 $\cos A=\frac{1}{\sqrt{5}}$. 令 $t=\sin x$，$t\in [-1,1]$，则 $f(x)=1-2{\sin }^{2}x+4\cos A\sin x=1-2t^2+\frac{4}{\sqrt{5}}t=-2{\left(t-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)}^2+\frac{7}{5}$. 对称轴 $t=\frac{1}{\sqrt{5}}\in [-1,1]$，故最大值为 $\frac{7}{5}$； 最小值在离对称轴较远的端点 $t=-1$ 处取得：$f=1-2-\frac{4}{\sqrt{5}}=-1-\frac{4\sqrt{5}}{5}$. 所以函数的值域为 $\left[-1-\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{7}{5}\right]$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直与二次型值域

核心方法：点乘为零定参数，换元 $t=\sin x$ 化二次函数

避坑指南：$$\begin{gathered} cosA= \\ frac1 \\ sqrt5 \end{gathered}$$ 的符号由 $$\begin{gathered} sinA=2 \\ cosA>0 \end{gathered}$$ 锁定；闭区间 $[-1,1]$ 上二次函数最值要看对称轴是否落在区间内，两端都要算

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量垂直给出角的条件，再接二次型值域（2010 江西文 6、19）

结论推广：$4\cos A\sin x$ 的系数变化不改变流程，只移动对称轴

方法推广：“换元 + 闭区间二次函数”是值域问题的万能框架，对称轴与区间关系三分类要熟

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2010-江西卷文-06 单-二次型三角函数值域
• 2010-江西卷文-19 解-三角化简与值域
• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参
• 2009-江西卷文-13 填-向量垂直坐标运算