2010-江西卷文-22 解-等差平方数列整数项

本题导读

考查数列与整除分析。$a_n=\sqrt{24n-23}$；无理项无穷多用相邻差 $24$ 反证；整数项要求 $m$ 为奇数且不被 $3$ 整除，$<200$ 的整数项和 $6733$。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(文)） 正实数数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=1$，$a_2=5$，且 $\{a_n^2\}$ 成等差数列.

(1) 证明：数列 $\{a_n\}$ 中有无穷多项为无理数；

(2) 当 $n$ 为何值时，$a_n$ 为整数，并求出使 $a_n<200$ 的所有整数项的和.

🔍【思路分析】

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1. $a_n^2=1+(n-1)\times 24=24n-23$，$a_n=\sqrt{24n-23}$。
2. (1) 反证：设只有有限多无理项，则存在 $N$，$n⩾N$ 时 $a_n$ 全为整数。
3. 相邻两项 $a_{n+1}^2-a_n^2=24$，即 $(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n)=24$，故 $a_{n+1}+a_n⩽24$，$a_n⩽12$。
4. 但 $a_n=\sqrt{24n-23}\to +\infty$，矛盾。故无理项有无穷多个。
5. (2) $a_n$ 为整数 $⟺24n-23=m^2$（$m$ 为正整数）$⟺m$ 为奇数且 $3$ 不整除 $m$，此时 $n=\frac{m^2+23}{24}$。
6. $a_n<200⟺m⩽199$。所求和 $S=(1+3+\cdots +199)-(3+9+\cdots +195)=100^2-3\times 33^2=10000-3267=6733$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 当 $n=\frac{m^2+23}{24}$（$m$ 为奇数且 $3$ 不整除 $m$）时 $a_n$ 为整数；使 $a_n<200$ 的所有整数项的和为 $6733$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\{a_n^2\}$ 是等差数列，$a_1^2=1$，$a_2^2=25$，公差 $d=24$，故 $a_n^2=1+24(n-1)=24n-23,a_n=\sqrt{24n-23}(a_n>0).$ (1) 反证法：假设数列 $\{a_n\}$ 中只有有限多项为无理数，则存在正整数 $N$，使得当 $n⩾N$ 时 $a_n$ 都是有理数. 此时 $a_n^2=24n-23$ 是正整数，而平方为整数的正有理数必是正整数，故 $a_n$ 为正整数. 于是对任意 $n⩾N$， $a_{n+1}^2-a_n^2=24,\text{即}(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n)=24.$ 由 $a_{n+1}-a_n⩾1$（正整数）得 $a_{n+1}+a_n⩽24$，从而 $a_n⩽12$. 但 $a_n=\sqrt{24n-23}$ 随 $n$ 增大趋于 $+\infty$，矛盾. 故数列 $\{a_n\}$ 中有无穷多项为无理数. （另法：当 $n$ 的末位数字是 $4$ 或 $9$ 时，$24n-23$ 的末位数字是 $3$，而完全平方数的末位只能是 $0,1,4,5,6,9$，故这些项都不是有理数，这样的 $n$ 有无穷多个.） (2) $a_n$ 为整数，等价于 $24n-23$ 是完全平方数. 设 $24n-23=m^2$（$m$ 为正整数）， 则 $m$ 必为奇数（否则 $m^2$ 为偶数，与 $24n-23$ 为奇数矛盾）； 且 $m^2+23=24n$ 要求 $m^2\equiv 1(\mathrm{mod}3)$，即 $3$ 不整除 $m$. 反之，$m$ 为奇数且 $3$ 不整除 $m$ 时，$m^2\equiv 1(\mathrm{mod}8)$，$m^2\equiv 1(\mathrm{mod}3)$，故 $m^2\equiv 1(\mathrm{mod}24)$，$n=\frac{m^2+23}{24}$ 为正整数. 所以当 $n=\frac{m^2+23}{24}(m\text{为奇数且}3\text{不整除}m)$ 时，$a_n=m$ 为整数. 设 $\{a_n\}$ 中满足 $a_n<200$ 的所有整数项的和为 $S$. $a_n=m<200$，$m$ 取遍不超过 $199$ 的奇数中不被 $3$ 整除者： $S=(1+3+5+\cdots +199)-(3+9+15+\cdots +195).$ 前一部分是 $100$ 个奇数之和：$100^2=10000$； 后一部分中，$3+9+\cdots +195=3\times (1+3+\cdots +65)=3\times 33^2=3267$. 故 $S=10000-3267=6733.$ 即使 $a_n<200$ 的所有整数项的和为 $6733$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列通项与整数项刻画

核心方法：$a_n=\sqrt{24n-23}$；相邻平方差 $24$ 的反证法；整数项等价于 $m$ 奇且 $3$ 不整除 $m$

避坑指南：反证的关键一步是 $(a_{n+1}-a_n)(a_{n+1}+a_n)=24$ 把”和有界”钉死，从而与 $a_n\to +\infty$ 矛盾；求和时 $(1+3+\cdots +199)=100^2$ 与 $3\times 33^2=3267$ 两个平方和公式要现推，$3$ 的倍数里只数奇数倍。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列 $\{a_n\}$ 满足 $\{a_n^2\}$ 成等差，即 $a_n=\sqrt{An+B}$ 型，是”平方开根”结构数列的代表。

结论推广：完全平方数在等差数列中的分布问题：间隔 $24$ 与相邻平方差 $2m+1$ 的赛跑决定整数项的稀疏性。

方法推广：同余刻画（$m$ 奇、$3\nmid m$）把”何时为整数”翻译成算术条件，是数论味数列题的标准收尾。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2009-江苏卷-17 解-等差数列整除分析
• 2009-北京卷文-20 解-新定义数列存在性
• 2009-上海卷文-23 解-等差等比存在性
• 2009-四川卷文-22 解-数列递推放缩