2010-江西卷理-06 单-二项式定理

本题导读

考查二项式展开式的通项公式与系数和（赋值法）的综合运用。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） $(2-\sqrt{x}{)}^8$ 展开式中不含 $x^4$ 项的系数的和为()

A. $-1$　　　　　　　B. $0$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 利用赋值法（令 $x=1$），求出展开式中所有项的系数之和。
2. 利用二项式定理通项公式，找出 $x^4$ 项并求出其系数。
3. 用所有项系数之和减去 $x^4$ 项的系数。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 设 $(2-\sqrt{x}{)}^8=a_0+a_1{x}^{\frac{1}{2}}+a_{2}x+\cdots +a_8{x}^4$。

要求“不含 $x^4$ 项的系数的和”，即求所有项的系数之和减去 $x^4$ 项的系数 $a_8$。

1. 求所有项系数之和： 在 $(2-\sqrt{x}{)}^8$ 中，令 $x=1$，得所有项系数之和为： $S=(2-\sqrt{1}{)}^8=1^8=1$

2. 求 $x^4$ 项的系数 $a_8$： 二项式展开式的通项公式为： $T_{r+1}={\mathrm{C}}_8^r\cdot 2^{8-r}\cdot (-\sqrt{x}{)}^r={\mathrm{C}}_8^r\cdot 2^{8-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{\frac{r}{2}}$ 令 $\frac{r}{2}=4⟹r=8$。 当 $r=8$ 时，$x^4$ 项的系数为： $a_8={\mathrm{C}}_8^8\cdot 2^{8-8}\cdot (-1{)}^8=1\times 1\times 1=1$

3. 求不含 $x^4$ 项的系数之和： $S-a_8=1-1=0$

正确选项：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式系数和（赋值法）与二项式通项公式。
2. 核心方法：间接法（“总体系数和” 减去 “指定项系数”）。
3. 避坑指南：注意“系数的和”是指包含符号的代数和，令 $x=1$ 即可求出；不要遗漏减去 $x^4$ 项系数这一步。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于二项式定理中“赋值法求系数和”的经典考法。
2. 结论推广：对 $(a+b{x}^k{)}^n$，所有项系数和为 $(a+b{)}^n$，除去 $x^m$ 项系数和为 $(a+b{)}^n-{\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$（其中 $kr=m$）。

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