2010-江西卷理-15 填-双曲线

本题导读

考查双曲线的标准方程、离心率及右焦半径公式的直接应用。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 点 $A(x_0,y_0)$ 在双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{32}=1$ 的右支上，若点 $A$ 到右焦点的距离等于 $2x_0$，则 $x_0=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据双曲线标准方程求出 $a,b,c$ 及离心率 $e$。
2. 利用双曲线右支上点的右焦半径公式 $|AF|=e{x}_0-a$。
3. 建立关于 $x_0$ 的方程并求解。

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

解： 由双曲线方程 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{32}=1$ 可得： $a^2=4⟹a=2$ $b^2=32$ $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+32}=6$

离心率： $e=\frac{c}{a}=\frac{6}{2}=3$

因为点 $A(x_0,y_0)$ 在双曲线右支上，由右焦半径公式得： $|AF|=e{x}_0-a=3x_0-2$

已知点 $A$ 到右焦点的距离等于 $2x_0$，即 $|AF|=2x_0$，所以： $3x_0-2=2x_0⟹x_0=2$

（验证：当 $x_0=2$ 时，$y_0=0$，点 $A(2,0)$ 即为右顶点，到右焦点 $F(6,0)$ 的距离为 $4=2x_0$，符合题意）。

填空答案：$2$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线焦半径公式 $|A{F}_2|=e{x}_0-a$（右支）。
2. 核心方法：焦半径公式快速求解法（避免繁琐地联立两点距离公式）。
3. 避坑指南：注意区别双曲线左支与右支的焦半径公式，右支上点横坐标 $x_0\ge a=2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于圆锥曲线第二定义与焦半径性质。
2. 结论推广：双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 右支上点到右焦点距离为 $e{x}_0-a$，到左焦点距离为 $e{x}_0+a$。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-03 填-双曲线
• 2011-上海卷理-23 解-双曲线
• 2011-北京卷文-10 填-双曲线渐近线