2010-江西卷理-16 填-面面垂直

本题导读

考查三条棱两两垂直的三棱锥（墙角模型）的体积平分截面特征，利用几何面积公式与代数比较法得出截面面积的大小关系。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 如图，在三棱锥 $O-ABC$ 中，三条棱 $OA,OB,OC$ 两两垂直，且 $OA>OB>OC$，分别经过三条棱 $OA,OB,OC$ 作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为 $S_1,S_2,S_3$，则 $S_1,S_2,S_3$ 的大小关系为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设 $OA=a,OB=b,OC=c$，满足 $a>b>c>0$。
2. 过侧棱（如 $OA$）且平分三棱锥体积的截面，必过对边（$BC$）的中点（因为等高，底面三角形面积被中线平分）。
3. 分别计算各截面（直角三角形/等腰三角形）的面积表达式 $S_1,S_2,S_3$，利用代数变形比较大小。

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$S_1>S_2>S_3$

✍【详细解析】

Abstract

解： 设 $OA=a,OB=b,OC=c$，由题意 $a>b>c>0$。

以经过 $OA$ 的截面为例： 要使截面平分三棱锥 $O-ABC$ 的体积，因为截面过顶点 $A$，故截面在底面 $OBC$ 上的交线必为 $△OBC$ 过 $O$ 点的中线 $OM$（$M$ 为 $BC$ 中点）。 因为 $OA\perp \text{平面 }OBC$，所以 $OA\perp OM$。 因此经过 $OA$ 的截面为直角三角形 $△OAM$。

在 $\mathrm{Rt}△OBC$ 中，中线长 $OM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2}$。 故截面面积： $S_1=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OM=\frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{2}\sqrt{b^2+c^2}=\frac{1}{4}\sqrt{a^2{b}^2+a^2{c}^2}$

同理，过 $OB$ 和 $OC$ 的平分体积截面面积分别为： $S_2=\frac{1}{4}\sqrt{a^2{b}^2+b^2{c}^2}$ $S_3=\frac{1}{4}\sqrt{a^2{c}^2+b^2{c}^2}$

比较 $16S_1^2,16S_2^2,16S_3^2$： $16S_1^2-16S_2^2=(a^2{b}^2+a^2{c}^2)-(a^2{b}^2+b^2{c}^2)=a^2{c}^2-b^2{c}^2=c^2(a^2-b^2)$ 因为 $a>b>0⟹a^2-b^2>0$，所以 $16S_1^2>16S_2^2⟹S_1>S_2$。

$16S_2^2-16S_3^2=(a^2{b}^2+b^2{c}^2)-(a^2{c}^2+b^2{c}^2)=a^2{b}^2-a^2{c}^2=a^2(b^2-c^2)$ 因为 $b>c>0⟹b^2-c^2>0$，所以 $16S_2^2>16S_3^2⟹S_2>S_3$。

得： $S_1>S_2>S_3$

填空答案：$S_1>S_2>S_3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三棱锥体积等分几何性质、截面面积表达式建立与比较。
2. 核心方法：直角三角形中线长公式结合几何法求面积，作差法比较大小。
3. 避坑指南：注意“平分三棱锥体积”要求截线分底面三角形面积相等，因此截线必为底面中线；直角三角形斜边中线长等于斜边的一半。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于“墙角模型”（直角三棱锥）截面性质的代数化推广。
2. 结论推广：在两两垂直的三棱锥中，过最长棱的平分体积截面面积最大，过最短棱的截面面积最小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-安徽卷文-19 解-多面体平行与棱锥体积
• 2011-江西卷文-18 解-翻折棱锥体积与垂直
• 2011-福建卷文-20 解-四棱锥垂直与体积