2010-江西卷理-17 解-三角函数

本题导读

考查三角函数的恒等变换（余切化弦、二倍角公式、降幂公式）、三角函数图像与性质（在闭区间上的值域）以及已知正切值求参数。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 已知函数 $f(x)=(1+\cot x){\sin }^{2}x+m\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)$.

(1) 当 $m=0$ 时，求 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{4}\right]$ 上的取值范围；

(2) 当 $\tan \alpha =2$ 时，$f(\alpha )=\frac{3}{5}$，求 $m$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 先对函数 $f(x)$ 进行恒等变形化简：

• 第一项：$\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}⟹(1+\cot x){\sin }^{2}x={\sin }^{2}x+\sin x\cos x$。
• 第二项：利用积化和差公式或两角和差展开：$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{2}(\cos \frac{\pi }{2}-\cos 2x)=-\frac{1}{2}\cos 2x$。
• 整体展开得：$f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{m}{2}\cos 2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{m+1}{2}\cos 2x$。

2. 第 (1) 问：当 $m=0$ 时，$f(x)=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+\frac{1}{2}$。根据 $x\in \left[\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{4}\right]$ 确定 $2x-\frac{\pi }{4}$ 的取值范围，进而求出函数值域。
3. 第 (2) 问：将 $f(\alpha )={\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha -\frac{m}{2}\cos 2x$ 用 $\tan \alpha$ 表示（分子分母同除以 ${\cos }^2\alpha$ 或利用同角三角函数关系），代入 $\tan \alpha =2$ 求解 $m$。

✅【答案】

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$（1）⎡⎢⎣0,1+\surd 22$

✍【详细解析】

Abstract

解： 先化简函数 $f(x)$ 的表达式： 第一项： $(1+\cot x){\sin }^{2}x=\left(1+\frac{\cos x}{\sin x}\right){\sin }^{2}x={\sin }^{2}x+\sin x\cos x$

第二项： $m\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\sin \left(x-\frac{\pi }{4}\right)=m\cdot \frac{1}{2}\left[\cos \frac{\pi }{2}-\cos 2x\right]=-\frac{m}{2}\cos 2x$

故函数 $f(x)$ 可化简为： $f(x)={\sin }^{2}x+\sin x\cos x-\frac{m}{2}\cos 2x$

---

(1) 当 $m=0$ 时： $f(x)={\sin }^{2}x+\sin x\cos x$

利用降幂公式与倍角公式： $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x=\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{1}{2}$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+\frac{1}{2}$

因为 $x\in \left[\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{4}\right]$，所以： $2x\in \left[\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{2}\right]⟹2x-\frac{\pi }{4}\in \left[0,\frac{5\pi }{4}\right]$

当 $2x-\frac{\pi }{4}\in \left[0,\frac{5\pi }{4}\right]$ 时：

• 正弦函数 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ 的最大值为 $1$（当 $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ 即 $x=\frac{3\pi }{8}$ 时取得）；
• 最小值为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$（当 $2x-\frac{\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$ 即 $x=\frac{3\pi }{4}$ 时取得）。

因此：

• 最小值：$f(x{)}_{\min }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$；
• 最大值：$f(x{)}_{\max }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$。

故 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{\pi }{8},\frac{3\pi }{4}\right]$ 上的取值范围是 $\left[0,\frac{\sqrt{2}+1}{2}\right]$。

---

(2) 当 $\tan \alpha =2$ 时： 因为 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$，所以 $f(\alpha )$ 可表达为： $f(\alpha )={\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha -\frac{m}{2}({\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha )=\left(1+\frac{m}{2}\right){\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha -\frac{m}{2}{\cos }^2\alpha$

利用同角三角函数关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，将上式分子分母同除以 ${\cos }^2\alpha$ 化为正切表示： $f(\alpha )=\frac{\left(1+\frac{m}{2}\right){\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha -\frac{m}{2}{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }=\frac{\left(1+\frac{m}{2}\right){\tan }^2\alpha +\tan \alpha -\frac{m}{2}}{{\tan }^2\alpha +1}$

代入 $\tan \alpha =2$： $f(\alpha )=\frac{\left(1+\frac{m}{2}\right)\cdot 4+2-\frac{m}{2}}{2^2+1}=\frac{4+2m+2-\frac{m}{2}}{5}=\frac{6+\frac{3}{2}m}{5}$

已知 $f(\alpha )=\frac{3}{5}$，所以： $\frac{6+\frac{3}{2}m}{5}=\frac{3}{5}⟹6+\frac{3}{2}m=3⟹\frac{3}{2}m=-3⟹m=-2$

答：$m$ 的值为 $-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：

• 三角变换：积化和差/倍角降幂与辅助角公式 $A\sin (\omega x+\phi )+B$。
• 正切齐次式转换法：利用 $\frac{A{\sin }^2\alpha +B\sin \alpha \cos \alpha +C{\cos }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha }$ 求已知 $\tan \alpha$ 时的三角代数式值。

2. 核心方法：

• 第 (1) 问用辅助角公式降次化简求闭区间值域。
• 第 (2) 问构造关于 $\tan \alpha$ 的齐次分式简化计算。

3. 避坑指南：第 (1) 问中注意自变量 $x$ 乘以 $2$ 并减去 $\frac{\pi }{4}$ 后的新角整体取值范围，防止最大小值极值点取错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于三角函数图像与性质中化简 $f(x)=A\sin (\omega x+\varphi )+k$ 求区间最值及齐次化简经典考题。
2. 结论推广：对形如 $a{\sin }^{2}x+b\sin x\cos x+c{\cos }^{2}x$ 的二次齐次式，知 $\tan x$ 时可以齐次化除以 ${\cos }^{2}x$ 直接求值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数