2010-江西卷理-21 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆标准方程的求法以及直线与椭圆的位置关系综合应用。第一问根据离心率和通径求解椭圆方程；第二问采用“设而不求”的方法，利用韦达定理表示向量数量积，通过探讨方程是否恒成立来判断点 $P$ 的存在性。

📌【题干】

Question

（2010年江西卷(理)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，当 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$ 时，$|AB|=1$.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)设 $O$ 为坐标原点，在 $x$ 轴上是否存在点 $P$，使得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：由离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $b^2=\frac{1}{4}{a}^2$。倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$ 时，通径 $|AB|=\frac{2b^2}{a}=1$，求出 $a,b$，得到椭圆方程。
2. 第二问：设 $P(m,0)$，直线 $l$ 为 $x=ky+\sqrt{3}$，联立椭圆方程得到关于 $y$ 的一元二次方程。写出 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}$ 和 $\overrightarrow{OP}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ 的含 $k$ 和 $m$ 的表达式。比较两侧是否可能对任意 $k$ 恒成立，得出不存在的结论。

✅【答案】

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（1）𝐶1的离心率为√22.（2）椭圆方程为𝑥2

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）由题意可知，离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，故 $b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}{a}^2$。

当 $l$ 的倾斜角为 $\frac{\pi }{2}$ 时，直线 $l$ 的方程为 $x=c$，此时弦长 $|AB|=\frac{2b^2}{a}=1$。 将 $b^2=\frac{1}{4}{a}^2$ 代入得 $\frac{2\cdot \frac{1}{4}{a}^2}{a}=\frac{1}{2}a=1$，解得 $a=2$。

进而得 $b^2=1$，$c=\sqrt{3}$。 故椭圆 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。

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（2）假设在 $x$ 轴上存在点 $P(m,0)$ 满足条件。

椭圆的右焦点为 $F(\sqrt{3},0)$。 当直线 $l$ 的斜率存在且不为 0 时，设直线 $l$ 的方程为 $x=ky+\sqrt{3}$，$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。

将 $x=ky+\sqrt{3}$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，整理得： $(k^2+4)y^2+2\sqrt{3}ky-1=0$

由韦达定理得： $y_1+y_2=-\frac{2\sqrt{3}k}{k^2+4},y_1{y}_2=-\frac{1}{k^2+4}$

从而： $x_1{x}_2=(k{y}_1+\sqrt{3})(k{y}_2+\sqrt{3})=k^2{y}_1{y}_2+\sqrt{3}k(y_1+y_2)+3=\frac{-4k^2+12}{k^2+4}$

计算向量数量积： $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=\frac{-4k^2+12-1}{k^2+4}=\frac{11-4k^2}{k^2+4}$

又 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(x_1+x_2,y_1+y_2)$，其中： $x_1+x_2=k(y_1+y_2)+2\sqrt{3}=\frac{-2\sqrt{3}{k}^2}{k^2+4}+2\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{k^2+4}$

因为 $P(m,0)$，所以： $\overrightarrow{OP}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})=m(x_1+x_2)+0=\frac{8\sqrt{3}m}{k^2+4}$

要使 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$ 对满足条件的直线 $l$ 恒成立，只需： $\frac{11-4k^2}{k^2+4}=\frac{8\sqrt{3}m}{k^2+4}$ 即 $11-4k^2=8\sqrt{3}m$。

由于等式左边随 $k$ 的变化而变化，右边为常数，不可能对任意 $k$ 均成立。

故在 $x$ 轴上不存在点 $P$，使得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OP}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆方程的确定、直线与椭圆相交问题、向量数量积与坐标运算、存在性探究问题。
2. 核心方法：设直线为 $x=ky+m_0$ 可避免讨论斜率不存在的情况；利用韦达定理实现“设而不求”；探究存在性问题时先假设存在，若导出矛盾（如常数等于变量）则说明不存在。
3. 避坑指南：设直线方程时若设为 $y=k(x-\sqrt{3})$，需单独讨论斜率不存在的情况；运算量较大时注意通分及同类项合并的准确性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自 2010 年江西高考理科数学第 21 题，是圆锥曲线解答题中经典的探究存在性题型。
2. 结论推广：若改设 $P$ 点在直线 $x=t$ 上动，则存在性问题可通过系数匹配转化为关于参数的恒等式，进而求出确定的几何位置。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-20 解-椭圆标准方程与向量关系
• 2013-天津卷文-18 解-椭圆方程与向量
• 2013-山东卷文-22 解-椭圆面积与向量比