2010-浙江卷文-06 单-充要条件判定

本题导读

考查充要条件。$x\sin x<1\Rightarrow x{\sin }^{2}x=(x\sin x)\sin x<1$（必要）；反之在 $x\sin x=1$ 附近可取到 $x{\sin }^{2}x<1$ 而 $x\sin x>1$ 的点，不充分。选 B。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 设 $0<x<\frac{\pi }{2}$，则"$x{\sin }^{2}x<1$"是"$x\sin x<1$"的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 知 $0<\sin x<1$。
2. 若 $x\sin x<1$，则 $x{\sin }^{2}x=(x\sin x)\cdot \sin x<\sin x<1$，必要性成立。
3. 充分性：设 $g(x)=x\sin x$，$g(1)=\sin 1<1$，$g\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}>1$，故存在 $x_1\in \left(1,\frac{\pi }{2}\right)$ 使 $g(x_1)=1$；此时 $x_1{\sin }^2{x}_1=\sin x_1<1$。
4. 由连续性，在 $x_1$ 右侧附近取 $x$，可使 $x\sin x>1$ 而 $x{\sin }^{2}x<1$ 同时成立，充分性不成立。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 知 $0<\sin x<1$。 若 $x\sin x<1$，则 $x{\sin }^{2}x=(x\sin x)\cdot \sin x<1\cdot \sin x<1,$ 故"$x\sin x<1$"能推出"$x{\sin }^{2}x<1$"，必要性成立。 反之，令 $g(x)=x\sin x$，则 $g$ 连续，$g(1)=\sin 1<1$，$g\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}>1$， 故存在 $x_1\in \left(1,\frac{\pi }{2}\right)$ 使 $g(x_1)=1$，此时 $x_1{\sin }^2{x}_1=\sin x_1<1$； 由连续性，在 $x_1$ 右侧附近取 $x$，有 $x\sin x>1$ 而 $x{\sin }^{2}x<1$， 即"$x{\sin }^{2}x<1$"推不出"$x\sin x<1$"，充分性不成立。 故为必要而不充分条件，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件

核心方法：右推左用 $0<\sin x<1$ 放缩；左推右构造连续函数取等附近的反例

避坑指南：方向别搞反：“A 是 B 的什么条件”要看 A 与 B 互推的双向结果；本题 $x{\sin }^{2}x<1$ 范围更”大”，是必要而非充分条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件与三角不等式交汇：放缩方向由 $\sin x$ 的范围决定。

结论推广：连续函数 $g(x)=x\sin x$ 由小于 $1$ 到大于 $1$ 必经过等于 $1$，是构造反例的通用依据。

方法推广：判断不充分时举出一个反例即可，不要求通解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-02 单-充分必要条件
• 2011-浙江卷文-06 单-充分必要条件
• 2012-浙江卷文-05 单-充要条件与直线平行
• 2013-浙江卷文-03 单-充要条件判定