2013-浙江卷文-03 单-充要条件判定

本题导读

本题考查充分必要条件，以及同角三角函数。

📌【题干】

Question

（2013年浙江卷(文)） 若 $\alpha \in \mathbf{R}$，则"$\alpha =0$"是"$\sin \alpha <\cos \alpha$"的()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性：$\alpha =0$ 时 $\sin 0=0<1=\cos 0$，成立。
2. 必要性：取 $\alpha =-\frac{\pi }{4}$，$\sin \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \alpha$ 成立，但 $\alpha \ne 0$ → 不必要。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

先看充分性：若 $\alpha =0$，则 $\sin \alpha =0$，$\cos \alpha =1$，$0<1$ 成立，故 $\alpha =0\Rightarrow \sin \alpha <\cos \alpha$。 再看必要性：取 $\alpha =-\frac{\pi }{4}$，则 $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}<\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \alpha ,$ 此时 $\sin \alpha <\cos \alpha$ 成立但 $\alpha \ne 0$，故 $\sin \alpha <\cos \alpha \nRightarrow \alpha =0$。 所以"$\alpha =0$"是"$\sin \alpha <\cos \alpha$"的充分不必要条件。 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件的判定

核心方法：充分性：$\alpha =0$ 时 $0<1$ 成立；必要性：$\alpha =-\frac{\pi }{4}$ 是反例 → 充分不必要

避坑指南：否定”必要”只需一个反例：$\sin \alpha <\cos \alpha$ 的解集远不止 $\{0\}$（如 $-\frac{\pi }{4}$）——只想同角关系 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 硬解不等式会绕远路。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：常用逻辑用语（条件关系与三角不等式结合）。

结论推广：”$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件” ⟺ $p\Rightarrow q$ 且 $q\nRightarrow p$；否定必要性举一个 $q$ 成立而 $p$ 不成立的例子即可。

方法推广：条件关系两步：先验证 $p\Rightarrow q$ 是否成立（充分性），再找反例检验 $q\Rightarrow p$（必要性）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-08 单-充要条件逆否
• 2014-新课标II卷文-03 单-充要条件
• 2014-广东卷文-07 单-充要条件