2010-浙江卷文-13 填-向量垂直与模

本题导读

考查向量数量积。$\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=\frac{1}{2}$，$|2\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }{|}^2=4+2+4=10$，模为 $\sqrt{10}$。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 已知平面向量 $\mathbf{\alpha }$，$\mathbf{\beta }$ 满足 $|\mathbf{\alpha }|=1$，$|\mathbf{\beta }|=2$，$\mathbf{\alpha }\perp (\mathbf{\alpha }-2\mathbf{\beta })$，则 $|2\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }|$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $\mathbf{\alpha }\cdot (\mathbf{\alpha }-2\mathbf{\beta })=0\Rightarrow |\mathbf{\alpha }{|}^2=2\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }$，$\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=\frac{1}{2}$。
2. $|2\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }{|}^2=4|\mathbf{\alpha }{|}^2+4\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }+|\mathbf{\beta }{|}^2=4+2+4=10$。
3. $|2\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }|=\sqrt{10}$。

✅【答案】

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$\sqrt{10}$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\mathbf{\alpha }\perp (\mathbf{\alpha }-2\mathbf{\beta })$ 得 $\mathbf{\alpha }\cdot (\mathbf{\alpha }-2\mathbf{\beta })=|\mathbf{\alpha }{|}^2-2\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=0\Rightarrow \mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=\frac{|\mathbf{\alpha }{|}^2}{2}=\frac{1}{2}.$ 于是 $|2\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }{|}^2=4|\mathbf{\alpha }{|}^2+4\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }+|\mathbf{\beta }{|}^2=4+2+4=10,$ 故 $|2\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }|=\sqrt{10}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直与模长

核心方法：垂直条件展开得数量积，$|2\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }|$ 先平方

避坑指南：$\mathbf{\alpha }\cdot (\mathbf{\alpha }-2\mathbf{\beta })=0$ 展开是 $|\mathbf{\alpha }{|}^2-2\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }=0$，系数 $2$ 别丢；模长先算平方再开方。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：垂直 $⟺$ 数量积为零，是向量条件的标准翻译。

结论推广：$|\mathbf{a}+\mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+|\mathbf{b}{|}^2$ 是模长计算的万能式。

方法推广：数量积 $\mathbf{\alpha }\cdot \mathbf{\beta }$ 是联结模长与夹角的枢纽。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-06 单-向量模长
• 2009-辽宁卷文-04 单-向量模与夹角
• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积
• 2011-上海卷文-12 填-向量数量积