2012-北京卷文-20 解-数表新定义极值

本题导读

本题考查数表与新定义。核心在于定义法、化归法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 设 $A$ 是如下形式的 $2$ 行 $3$ 列的数表：

|$a$|$b$|$c$| |$d$|$e$|$f$|

满足性质 $P$：$a$，$b$，$c$，$d$，$e$，$f\in [-1,1]$，且 $a+b+c+d+e+f=0$. 记 $r_i(A)$ 为 $A$ 的第 $i$ 行各数之和（$i=1,2$），$c_j(A)$ 为 $A$ 的第 $j$ 列各数之和（$j=1,2,3$）；记 $k(A)$ 为 $|r_1(A)|$，$|r_2(A)|$，$|c_1(A)|$，$|c_2(A)|$，$|c_3(A)|$ 中的最小值.

(1)对如下数表 $A$，求 $k(A)$ 的值：

|$1$|$1$|$-0.8$| |$0.1$|$-0.3$|$-1$|

(2)设数表 $A$ 形如

|$1$|$1$|$-1-2d$| |$d$|$d$|$-1$|

其中 $-1⩽d⩽0$. 求 $k(A)$ 的最大值；

(3)对所有满足性质 $P$ 的 $2$ 行 $3$ 列的数表 $A$，求 $k(A)$ 的最大值.（本小题共 $13$ 分）

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$k(A)=0.7$；（2）$k(A)=\min (1+d,2+2d,1-2d)$，$d=0$ 时最大值 $1$；（3）反证：若五个绝对值都大于 $1$，由行和、列和为零推矛盾，最大值为 $1$。

✅【答案】

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(1)$k(A)=0.7$

(2)$k(A)$ 的最大值为 $1$

(3)$k(A)$ 的最大值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$r_1=1+1-0.8=1.2$，$r_2=0.1-0.3-1=-1.2$；$c_1=1.1$，$c_2=0.7$，$c_3=-1.8$。

五个绝对值中最小的是 $|c_2|=0.7$，故 $k(A)=0.7$。

（2）$r_1=1-2d$，$r_2=2d-1$，$c_1=c_2=1+d$，$c_3=-2-2d$。

$d\in [-1,0]$ 时 $|r_1|=1-2d⩾1$，$|c_1|=1+d\in [0,1]$，$|c_3|=2+2d\in [0,2]$，故 $k(A)=\min \{1+d,2+2d,1-2d\}$。

$1+d$、$2+2d$ 关于 $d$ 递增，$1-2d$ 递减：$d<0$ 时 $1+d<1$；$d=0$ 时 $k(A)=\min \{1,2,1\}=1$。

故最大值为 $1$（$d=0$ 时取得）。

（3）先证 $k(A)⩽1$：由总和为零，$r_1+r_2=0$，$c_1+c_2+c_3=0$。

反证：若 $k(A)>1$，则五个绝对值都大于 $1$。由 $r_1+r_2=0$ 得 $|r_1|=|r_2|>1$；不妨 $r_1>1$。由 $c_1+c_2+c_3=0$，三个列和中有正有负，必存在两个同号：不妨 $c_1>1$，$c_2>1$，则 $c_3=-(c_1+c_2)<-2$。

$c_1=a+d>1$ 且 $|a|,|d|⩽1$，$c_3=c+f<-2$ 且 $f⩾-1$，故 $c=c_3-f<-1$，与 $c⩾-1$ 矛盾（若同号列为负同理）。

故 $k(A)⩽1$ 恒成立；又（2）中 $d=0$ 的数表（$1,1,-1;0,0,-1$）满足性质 $P$ 且 $k(A)=1$。

综上 $k(A)$ 的最大值为 $1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义运算；行列和的零和约束；反证法与构造取等

核心方法：按定义算 → 把 $k(A)$ 写成参数的显式函数 → 反证上界 + 构造下界

避坑指南：（3）必须”两头”：一是证明 $k(A)⩽1$（反证，用 $r_1+r_2=0$、$c_1+c_2+c_3=0$ 的零和约束），二是给出取等例子（$d=0$ 的数表），缺构造则只有上界没有最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：北京卷压轴新定义题，与 2013 年北京卷文第 20 题（数列新定义）、2014 年北京卷理第 20 题（新定义问题）同族，考查极端原理与严谨论证。

结论推广：一般地，$m\times n$ 数表中行和之和等于列和之和（均为全部元素之和）；零和约束（$r_1+r_2=0$，$c_1+c_2+c_3=0$）是控制”绝对值最小值”上界的核心。

方法推广：压轴新定义三步：按定义算特例（第(1)问）→ 特殊结构求最值（第(2)问）→ 一般情形”上界证明 + 取等构造”（第(3)问）。

🔗【关联脉络】

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类题演练 (Links)

• 2013-北京卷文-20 解-数列新定义
• 2014-北京卷理-20 解-新定义问题

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