2010-浙江卷文-19 解-等差数列前n项和

本题导读

考查等差数列。（1）$S_6=-3$，$a_6=S_6-S_5=-8$，$d=-3$，$a_1=7$；（2）$2S_5^2+5d{S}_5+25=0$ 有实根，$\Delta =25d^2-200⩾0$，$d⩽-2\sqrt{2}$ 或 $d⩾2\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(文)） 设 $a_1$，$d$ 为实数，首项为 $a_1$，公差为 $d$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，满足 $S_5{S}_6+15=0$.

(1)若 $S_5=5$，求 $S_6$ 及 $a_1$；

(2)求 $d$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （1）由 $S_5{S}_6+15=0$，$S_5=5$，得 $S_6=-3$，$a_6=S_6-S_5=-8$。
2. $S_5=5a_1+10d=5$ 与 $a_6=a_1+5d=-8$ 联立：$d=-3$，$a_1=7$。
3. （2）$S_6=6a_1+15d=\frac{6}{5}{S}_5+3d$，代入条件：$S_5\left(\frac{6}{5}{S}_5+3d\right)+15=0$。
4. 整理：$2S_5^2+5d{S}_5+25=0$，视其为 $S_5$ 的二次方程。
5. $\Delta =25d^2-200⩾0\Rightarrow d^2⩾8$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $S_6=-3$，$a_1=7$

(2) $d⩽-2\sqrt{2}$ 或 $d⩾2\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $S_5{S}_6+15=0$ 及 $S_5=5$，得 $S_6=-3$，从而 $a_6=S_6-S_5=-3-5=-8.$ 由等差数列求和与通项： $S_5=5a_1+10d=5\Rightarrow a_1+2d=1;a_6=a_1+5d=-8.$ 两式相减得 $3d=-9$，$d=-3$，进而 $a_1=7$。 （2）由 $S_5=5a_1+10d$ 得 $a_1=\frac{S_5}{5}-2d$，代入 $S_6=6a_1+15d$： $S_6=\frac{6}{5}{S}_5+3d.$ 已知条件化为 $S_5\left(\frac{6}{5}{S}_5+3d\right)+15=0⟺2S_5^2+5d{S}_5+25=0.$ 这是关于 $S_5$ 的二次方程，实数 $S_5$ 存在当且仅当 $\Delta =(5d{)}^2-4\times 2\times 25=25d^2-200⩾0⟺d^2⩾8.$ 反之，当 $d^2⩾8$ 时方程有实根 $S_5$，取 $a_1=\frac{S_5}{5}-2d$ 即可构造满足条件的等差数列。 故 $d$ 的取值范围为 $d⩽-2\sqrt{2}\text{或}d⩾2\sqrt{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列基本量与参数范围

核心方法：（1）$a_6=S_6-S_5$；（2）消 $a_1$ 得 $S_5$ 的二次方程用判别式

避坑指南：$S_6=\frac{6}{5}{S}_5+3d$ 的消元要仔细；判别式 $\Delta =25d^2-200⩾0$ 解的是 $d^2⩾8$，两边都要（$d$ 可正可负）；充要性要交代”反之可构造”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差数列中 $a_n=S_n-S_{n-1}$ 是沟通和与项的桥。

结论推广：参数存在性问题：把条件整理成某实数的二次方程，判别式非负即得范围。

方法推广：判别式法的完整性：必要（方程有根）与充分（根可回代构造）缺一不可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-20 解-等差数列通项等比
• 2011-浙江卷文-19 解-等差数列倒数成等比
• 2012-四川卷文-20 解-由前n项和求通项与最值
• 2009-湖北卷文-19 解-等差数列与递推关系