2010-浙江卷理-07 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划逆向求参问题，利用可行域顶点的交点代入法求解参数 $m$。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 若实数 $x,y$ 满足不等式组 $\{\begin{array}{l}x+3y-3\ge 0\\ 2x-y-3\le 0\\ x-my+1\ge 0\end{array}$，且 $x+y$ 的最大值为 $9$，则实数 $m=$()

A. $-2$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 目标函数为 $z=x+y$，变形为 $y=-x+z$，其最大值对应直线在 $y$ 轴上的截距最大。
2. 联立已知确定的两条边界直线 $x+3y-3=0$ 与 $2x-y-3=0$，解得交点 $P_0\left(\frac{12}{7},\frac{3}{7}\right)$，此时 $z=\frac{15}{7}<9$。
3. 目标函数最大值为 $9$，说明可行域的顶点之一满足 $x+y=9$。
4. 联立 $x+y=9$ 与边界直线 $2x-y-3=0$，解得交点 $P(4,5)$。
5. 将交点 $P(4,5)$ 代入直线 $x-my+1=0$ 中求出 $m$ 的值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求目标函数取最大值时的可行域顶点坐标 目标函数 $z=x+y⟹y=-x+z$，截距 $z$ 最大对应可行域的最右上顶点。

联立确定直线 $l_1:x+3y-3=0$ 和 $l_2:2x-y-3=0$： $\{\begin{array}{l}x+3y-3=0\\ 2x-y-3=0\end{array}⟹x=\frac{12}{7},y=\frac{3}{7}$ 在此交点处 $z=\frac{12}{7}+\frac{3}{7}=\frac{15}{7}$。

由于最大值为 $9$，说明最大值必定在边界 $l_2:2x-y-3=0$ 与动边界 $l_3:x-my+1=0$ 的交点处取得。

联立 $2x-y-3=0$ 与目标函数最大值直线 $x+y=9$： $\{\begin{array}{l}2x-y=3\\ x+y=9\end{array}$ 两式相加： $3x=12⟹x=4,y=5$

得顶点坐标为 $P(4,5)$。

第二步：求参数 $m$ 的值 顶点 $P(4,5)$ 必在边界直线 $x-my+1=0$ 上： $4-5m+1=0⟹5m=5⟹m=1$

验证：当 $m=1$ 时，不等式组可行域为受限的三条直线构成的三角形区域，三个顶点分别为 $\left(\frac{12}{7},\frac{3}{7}\right)$, $\left(\frac{1}{2},\frac{5}{6}\right)$, $(4,5)$，在其顶点 $(4,5)$ 处目标函数 $x+y$ 取得最大值 $9$，符合题意。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组表示平面区域与线性规划逆向求参。
2. 核心方法：画图定位最值顶点 $\to$ 联立目标函数与边界直线方程求顶点 $\to$ 代入求参。
3. 避坑指南：注意目标函数 $z=x+y$ 斜率为 $-1$，在边界 $2x-y-3=0$（斜率为 $2$）上向上移动时 $z$ 值增大。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：线性规划逆向推导参数经典考题。
2. 结论推广：线性规划的最大/最小值必定在可行域的边界顶点或边界线段上取得。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-03 填-反函数求值
• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-14 填-周期函数值域