本题导读
本题考查函数零点存在定理的应用，通过排除法估计各区间端点处的函数值正负，找出不存在零点的区间。
📌【题干】
Question
（2010年浙江卷(理)） 设函数 ，则在下列区间中函数 不存在零点的是()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
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- 分析函数 。
- 因为 ，所以 。
- 若方程有解，必有 。
- 针对选项 [2, 4]，当 时，，评估 与 的大小。
- 特别地，在 上，，此时正弦函数在部分区间取负值，在某些点最大只能达到 。但细致分析端点值：
- ，因为 ，所以 （第四象限），，因此 ；
- ，因为 （第二象限），；
- 比较 与 ：因为 接近 ，故 ，故 ；
- 检查 区间内 的最大值：。当 时，在最大值点附近评估 恒成立。
✅【答案】
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A
✍【详细解析】
Abstract
要寻找 不存在零点的区间：
分析选项 D. ： 当 时，有 。
当 时，角落在第四象限，。 此时 。
当 时，对应角在第一、二象限： 取得最大正弦值是在 处，此时： 此时 。 而对应点的 值为 ，所以 吗？需要精细检验： 令 。 在 处，？
等一下，重新核对区间 A. ： 当 时，：
- 当 时，，此时 中，， 极值：在 （超出该区间）； 对 ，当 （对应区间 ），正弦值为正： 最大正弦值发生在 。 此时 。 而 。 所以 。 端点 。因为 ，； 端点 （因 ）。 检验全区间：在 上，，由于 ，而 ， 分析最小值：当 时，超出区间； 在 内，最负的正弦值出现在 或 。 在 时 ； 在 （对应 ）时，： 最小正弦值发生在 。 此时 。而 。 此时 ！ 因为即使在正弦极小值点，，加上 依然大于 ！ 即在整区间 上，恒有 ！
因此，在区间 上，函数 恒成立，故不存在零点。
故选 A
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：函数零点存在性判定与超越函数不等式估算。
- 核心方法：界限估计法（利用 与 在该区间上的最值相加判定恒正/恒负）。
- 避坑指南：在估算三角函数值时，务必将弧度准确转换为角度或用 进行区间定位。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：超越方程 的根的区间隔离法考题。
- 结论推广：若 ，当 时， 恒成立，无零点。
🔗【关联脉络】
Multi column