2010-浙江卷理-11 填-三角函数

本题导读

本题考查三角恒等变换与辅助角公式化简，进而求解三角函数的最小正周期。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 函数 $f(x)=\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)-2\sqrt{2}{\sin }^{2}x$ 的最小正周期是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用降幂公式 $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$ 将二次项转化为一次二倍角形式。
2. 展开 $\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x$。
3. 同角合并利用辅助角公式化简为 $A\sin (2x+\phi )+B$ 的形式，利用公式 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 计算周期。

✅【答案】

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$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

展开第一项并应用降幂公式： $f(x)=\left(\sin 2x\cos \frac{\pi }{4}-\cos 2x\sin \frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{2}(1-\cos 2x)$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x-\sqrt{2}+\sqrt{2}\cos 2x$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin 2x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos 2x-\sqrt{2}$

利用辅助角公式化简： $f(x)=\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)-\sqrt{2}$

因为 $\omega =2$，所以最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$

故答案为：$\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：降幂公式 $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$ 与二倍角辅助角公式。
2. 核心方法：统一角为 $2x\to$ 化简为 $A\sin (2x+\phi )+C\to$ 求周期 $T=\pi$。
3. 避坑指南：注意 $2\sqrt{2}{\sin }^{2}x=\sqrt{2}(1-\cos 2x)$ 中负号展开后的符号影响，避免将 $-\sqrt{2}(-\cos 2x)$ 错算为 $-\sqrt{2}\cos 2x$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：基础三角恒等变换化简与周期求解。
2. 结论推广：形如 $f(x)=a\sin 2x+b\cos 2x+c{\sin }^{2}x+d$ 均可统一化简为 $A\sin (2x+\phi )+k$，周期恒为 $\pi$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数