2010-浙江卷理-14 填-二项式定理

本题导读

本题考查多项式展开后二项式系数作差的最小值规律，通过计算前若干项归纳发现一般性通项公式。

📌【题干】

Question

（2010年浙江卷(理)） 设 $n\ge 2,n\in \mathbb{N}$，${\left(2x+\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(3x+\frac{1}{3}\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n$，将 $|a_k|(0\le k\le n)$ 的最小值记为 $T_n$，则 $T_2=0$，$T_3=\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^3}$，$T_4=0$，$T_5=\frac{1}{2^5}-\frac{1}{3^5}$，$\dots$，其 $T_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知项的规律：

• 观察题目给出的前几项：
  • $T_2=0$
  • $T_3=\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^3}$
  • $T_4=0$
  • $T_5=\frac{1}{2^5}-\frac{1}{3^5}$

2. 分奇偶讨论归纳通项：

• 当 $n$ 为偶数时，$T_n=0$；
• 当 $n$ 为奇数时，$T_n=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}$。

3. 统一写出分段/通用表达式。

✅【答案】

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$\{\begin{array}{ll}0,& n\text{ 为偶数}\\ \frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n},& n\text{ 为奇数}\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析系数 $a_k$ 的展开式结构 展开式各系数为： $a_k={\mathrm{C}}_n^k\cdot 2^k\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-k}-{\mathrm{C}}_n^k\cdot 3^k\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{n-k}$ $a_k={\mathrm{C}}_n^k\left(\frac{2^{2k-n}}{1}-\frac{3^{2k-n}}{1}\right)$

第二步：观察已知项寻找规律 由题目给出的计算结果：

• 当 $n=2$（偶数）时，$T_2=0$；
• 当 $n=3$（奇数）时，$T_3=\frac{1}{2^3}-\frac{1}{3^3}$；
• 当 $n=4$（偶数）时，$T_4=0$；
• 当 $n=5$（奇数）时，$T_5=\frac{1}{2^5}-\frac{1}{3^5}$；

第三步：归纳出 $T_n$ 的通项公式

• 当 $n$ 为偶数时，$T_n=0$（发生在常数项 $a_0$ 处：${\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ 与后续项中存在符号反转，最小值可以达到 $0$）；
• 当 $n$ 为奇数时，$T_n=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}$（发生在常数项 $a_0={\left(\frac{1}{2}\right)}^n-{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ 处，此时 $|a_0|=\frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n}$ 为最小模长）。

故通项表达式为： $T_n=\{\begin{array}{ll}0,& n\text{ 为偶数}\\ \frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n},& n\text{ 为奇数}\end{array}$

故答案为：$\{\begin{array}{ll}0,& n\text{ 为偶数}\\ \frac{1}{2^n}-\frac{1}{3^n},& n\text{ 为奇数}\end{array}$ （或分段形式写出）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式定理展开式系数归纳与分段通项表达。
2. 核心方法：观察归纳法（利用已知的前 4 项对应关系直接归纳出 $n$ 为奇数与偶数的表达式）。
3. 避坑指南：答题时必须区分 $n$ 为奇数和偶数两种情况分段书写，切勿漏掉“$n$ 为偶数时 $T_n=0$”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：归纳推理与二项式定理综合创新填空题。
2. 结论推广：对结构 $(ax+a^{-1}{)}^n-(bx+b^{-1}{)}^n$，当 $n$ 为偶数时存在系数为 $0$ 的项，极小绝对值为 $0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-13 填-二项式特定项
• 2011-大纲卷文-13 填-二项式系数差
• 2011-天津卷理-05 单-二项式定理