2010-湖北卷理-03 单-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理的应用以及已知角的正弦值求余弦值时对角的范围判定。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$a=15,b=10,A=60^{\circ }$，则 $\cos B=$ ()

A. $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$　　　　　　C. $-\frac{\sqrt{6}}{3}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 求出 $\sin B$ 的值。
2. 比较 $a$ 与 $b$ 大小确定 $A$ 与 $B$ 的大小关系，进而判断 $B$ 为锐角。
3. 由同角三角函数关系式 $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}$ 计算结果。

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D

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，由正弦定理得： $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}⟹\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\times \sin 60^{\circ }}{15}=\frac{10\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{15}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 因为 $a=15>10=b$，由“大边对大角”可知 $A>B$。 又因 $A=60^{\circ }$，所以 $B<60^{\circ }$，则 $B$ 必为锐角。 因此 $\cos B=\sqrt{1-{\sin }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 故选 D.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理求解三角形、同角三角函数关系。
2. 核心方法：正弦定理求角正弦 $\to$ 大边对大角确定角范围 $\to$ 求解余弦。
3. 避坑指南：已知正弦求余弦开平方时，必须根据边长关系判断角的范围，防止误选负值 C.。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修五第一章《解三角形》正弦定理例题变形。
2. 结论推广：已知三角形两边及其中一边的对角解三角形时，若 $a>b$，则只有唯一解且 $B$ 为锐角；若 $a<b\sin A$，则无解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数