2010-湖北卷理-10 单-均值不等式

本题导读

本题结合新定义“倾斜度 $t$”考查充分必要条件的判定，重点在于利用不等式链和等号成立条件证明三角形三边相等。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 记实数 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ 中的最大数为 $\max \{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$，最小数为 $\min \{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}$.已知 $△ABC$ 的三边边长为 $a,b,c$ ($a\le b\le c$)，定义它的倾斜度为 $t=\max \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\}\cdot \min \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\}$，则“$t=1$”是“$△ABC$ 为等边三角形”的 ()

A. 必要而不充分的条件　　　　　　　B. 充分而不必要的条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要的条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 必要性验证（等边三角形 $⟹t=1$）：若 $a=b=c$，求出 $\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}$ 的值并计算 $t$。
2. 充分性验证（$t=1⟹$ 等边三角形）： 由已知 $a\le b\le c$，分析 $\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}$ 的取值大小关系，确定最大值与最小值，列出 $t=1$ 的代数方程，利用 $a\le b\le c$ 推导是否必然有 $a=b=c$。

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证必要性（等边三角形 $⟹t=1$） 若 $△ABC$ 为等边三角形，则 $a=b=c$。 此时 $\frac{a}{b}=1,\frac{b}{c}=1,\frac{c}{a}=1$。 故 $\max \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\}=1$，$\min \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\}=1$。 得 $t=1\times 1=1$。必要性成立。

第二步：验证充分性（$t=1⟹$ 等边三角形） 因为 $0<a\le b\le c$，分析三个比值：

1. $\frac{a}{b}\le 1$
2. $\frac{b}{c}\le 1$
3. $\frac{c}{a}\ge 1$（当且仅当 $a=c$ 时取等号）

因此，三者中的最大值必为 $\frac{c}{a}$，即 $\max \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\}=\frac{c}{a}$。 而最小值在 $\frac{a}{b}$ 与 $\frac{b}{c}$ 中产生，即 $\min \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a}\right\}=\min \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c}\right\}$。

若 $t=1$，则： $\frac{c}{a}\cdot \min \left\{\frac{a}{b},\frac{b}{c}\right\}=1$

• 情形 1：若小者为 $\frac{a}{b}$，则 $\frac{c}{a}\cdot \frac{a}{b}=1⟹\frac{c}{b}=1⟹b=c$。 代入 $a\le b\le c$，得 $a\le b=c$。 此时 $\frac{a}{b}\le 1$，而 $\frac{b}{c}=1$，故最小者确实为 $\frac{a}{b}$。 此时代入 $t=1$ 得 $\frac{c}{a}\cdot \frac{a}{b}=\frac{c}{b}=1⟹b=c$。 但此时 $a$ 可以小于 $b$（例如 $a=1,b=2,c=2$，满足 $a\le b\le c$，比值为 $\frac{1}{2},1,2$，最大值 2，最小值 $\frac{1}{2}$，$t=2\times \frac{1}{2}=1$）。 验证反例：取 $a=1,b=2,c=2$，此时 $t=\max \{\frac{1}{2},1,2\}\cdot \min \{\frac{1}{2},1,2\}=2\times \frac{1}{2}=1$。但 $△ABC$ 为等腰三角形而非等边三角形！ 因此，$t=1\nRightarrow △ABC$ 为等边三角形，充分性不成立。

综上所述，“$t=1$” 是 “$△ABC$ 为等边三角形” 的必要而不充分条件。 故选 A.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件的判断、新定义代数式的性质与反例构造。
2. 核心方法：必要性正向推导，充分性通过构造具体反例（如 $a=1,b=2,c=2$）快速否定。
3. 避坑指南：容易直觉认为 $t=1$ 包含“三边对称性”从而错选 C. 充要条件；分析充分性时务必主动寻找反例。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于高等数学中度量空间与相似度函数的初等化改造题。
2. 结论推广：对于三边 $a\le b\le c$，倾斜度 $t=\frac{c}{b}$ 或 $\frac{c}{a}\cdot \frac{a}{b}=\frac{c}{b}$，只要 $b=c$，无论 $a$ 取何值（满足三角不等式），均有 $t=1$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-06 填-分式不等式
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立
• 2011-上海卷理-15 单-基本不等式