2010-湖北卷理-15 填-几何证明

本题导读

本题结合圆与直角三角形的几何性质，考查算术平均数、几何平均数及调和平均数的几何意义表示。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 设 $a>0,b>0$，称 $\frac{2ab}{a+b}$ 为 $a,b$ 的调和平均数. 如图，$C$ 为线段 $AB$ 上的点，且 $AC=a,CB=b$，$O$ 为 $AB$ 中点，以 $AB$ 为直径做半圆. 过点 $C$ 作 $AB$ 的垂线交半圆于 $D$. 连接 $OD,AD,BD$. 过点 $C$ 作 $OD$ 的垂线，垂足为 $E$. 则图中线段 $OD$ 的长度是 $a,b$ 的算术平均数，线段$\underline{}$的长度是 $a,b$ 的几何平均数，线段$\underline{}$的长度是 $a,b$ 的调和平均数.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据半圆半径求出线段 $OD=\frac{a+b}{2}$（算术平均数）。
2. 在 Rt$△ADB$ 中，由射影定理得 $C{D}^2=AC\cdot CB=ab⟹CD=\sqrt{ab}$（几何平均数）。
3. 在 Rt$△OCD$ 中，$CE\perp OD$，由射影定理（或面积法）得 $C{D}^2=DE\cdot OD⟹DE=\frac{C{D}^2}{OD}=\frac{ab}{\frac{a+b}{2}}=\frac{2ab}{a+b}$（调和平均数）。

✅【答案】

点击查看答案

$CD；CE$

✍【详细解析】

Abstract

1. 算术平均数： 因为 $AB=AC+CB=a+b$，$O$ 为中点，半径 $OD=\frac{a+b}{2}$，代表 $a,b$ 的算术平均数。

2. 几何平均数： 在 Rt$△ADB$ 中，$CD\perp AB$，由射影定理（或由 $△ACD\sim △DCB$）可得： $C{D}^2=AC\cdot CB=ab⟹CD=\sqrt{ab}$ 所以线段 $CD$ 的长度是 $a,b$ 的几何平均数。

3. 调和平均数： 在 Rt$△OCD$ 中，$\angle OCD=90^{\circ }$（因 $CD\perp AB$），$CE\perp OD$。 由射影定理可得： $C{D}^2=DE\cdot OD$ 所以： $DE=\frac{C{D}^2}{OD}=\frac{ab}{\frac{a+b}{2}}=\frac{2ab}{a+b}$ 所以线段 $DE$ 的长度是 $a,b$ 的调和平均数。

【答案】：$CD$；$DE$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：算术平均数 $\frac{a+b}{2}$、几何平均数 $\sqrt{ab}$ 与调和平均数 $\frac{2ab}{a+b}$ 的大小关系与几何表达。
2. 核心方法：利用直角三角形中的射影定理 $h^2=p\cdot q$ 证明线段长度关系。
3. 避坑指南：识别调和平均数时，注意 Rt$△OCD$ 中斜边上的高与直角边在斜边上的射影的区别，谨防将 $DE$ 误写为 $CE$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修4-5《不等式选讲》中关于均值不等式链 $\frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ 的几何解释背景。
2. 结论推广：在几何图形中，直角三角形各线段清晰表达了不等式链 $DE\le CD\le OD$（即 调和平均数 $\le$ 几何平均数 $\le$ 算术平均数），当且仅当 $a=b$（即 $C$ 与 $O$ 重合）时三者相等。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-15 填-三角形不等式
• 2013-辽宁卷文-21 解-三角不等式与恒成立
• 2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式