2010-湖北卷理-21 解-几何证明

本题导读

本题为导数综合压轴题，考查导数的几何意义、利用导数解决不等式恒成立问题（求参数范围），以及利用第二问得到的不等式进行放缩证明数列不等式。

📌【题干】

Question

（2010年湖北卷(理)） 已知函数 $f(x)=ax+\frac{b}{x}+c$ ($a>0$) 的图象在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=x-1$.

(1) 用 $a$ 表示出 $b,c$；

(2) 若 $f(x)\ge \ln x$ 在 $[1,+\infty )$ 上恒成立，求 $a$ 的取值范围.

(3) 证明：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}>\ln (n+1)+\frac{n}{2(n+1)}$ ($n\ge 1$).

🔍【思路分析】

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1. (1) 根据切线方程 $y=x-1$，由 $f^{\prime }(1)=1$ 以及切点 $(1,f(1))$ 在切线上（即 $f(1)=0$），列出方程组用 $a$ 表示 $b$ 和 $c$。
2. (2) 将 $b,c$ 代入后构造函数 $g(x)=f(x)-\ln x=ax+\frac{a-1}{x}-(2a-1)-\ln x$，利用导数分析其在 $[1,+\infty )$ 上的单调性与最小值，根据 $g(x)\ge 0$ 确定 $a$ 的取值范围。
3. (3) 利用第 (2) 问中的临界值或特定参数（如取 $a=\frac{1}{2}$ 时 $f(x)\ge \ln x$ 成立，化简得 $\frac{1}{x}\ge \ln (x+1)-\ln x+\cdots$ 型放缩），将 $x$ 替换为 $k$，对 $k=1,2,\dots ,n$ 进行累加放缩求和。

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$a$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 对 $f(x)=ax+\frac{b}{x}+c$ 求导得： $f^{\prime }(x)=a-\frac{b}{x^2}$ 因为图象在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $y=x-1$， 所以切线斜率为 $1$，且切点为 $(1,0)$。 得方程组： $\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(1)=a-b=1\\ f(1)=a+b+c=0\end{array}$ 解得： $b=a-1,c=1-2a$

(2) 解： 将 $b=a-1$，$c=1-2a$ 代入 $f(x)$ 得： $f(x)=ax+\frac{a-1}{x}+1-2a$ 要使 $f(x)\ge \ln x$ 在 $[1,+\infty )$ 上恒成立，即设： $g(x)=ax+\frac{a-1}{x}+1-2a-\ln x\ge 0(x\ge 1)$ 对 $g(x)$ 求导得： $g^{\prime }(x)=a-\frac{a-1}{x^2}-\frac{1}{x}=\frac{a{x}^2-x-(a-1)}{x^2}=\frac{(x-1)(ax+a-1)}{x^2}$

因为 $x\ge 1$，所以 $x-1\ge 0$。

• 当 $a\ge \frac{1}{2}$ 时： 对任意 $x\ge 1$，有 $ax+a-1\ge a+a-1=2a-1\ge 0$。 此时 $g^{\prime }(x)\ge 0$ 在 $[1,+\infty )$ 上恒成立，故 $g(x)$ 在 $[1,+\infty )$ 上单调递增。 所以 $g(x)\ge g(1)=a+(a-1)+1-2a-\ln 1=0$，满足 $g(x)\ge 0$ 恒成立。

• 当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时： 令 $ax+a-1=0$，解得根为 $x_0=\frac{1-a}{a}=\frac{1}{a}-1$。 因为 $0<a<\frac{1}{2}$，所以 $x_0>2-1=1$。 当 $1<x<x_0$ 时，$ax+a-1<0$，则 $g^{\prime }(x)<0$，函数 $g(x)$ 在 $(1,x_0)$ 上单调递减。 故当 $x\in (1,x_0)$ 时，$g(x)<g(1)=0$，与 $g(x)\ge 0$ 恒成立矛盾。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2},+\infty \right)$。

(3) 证明： 由 (2) 可知，当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$f(x)\ge \ln x$ 在 $[1,+\infty )$ 上恒成立。 此时 $b=\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}$，$c=1-2\left(\frac{1}{2}\right)=0$。 即对任意 $x\ge 1$，均有： $\frac{1}{2}x-\frac{1}{2x}\ge \ln x⟹\frac{x^2-1}{2x}\ge \ln x$

令 $x=\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}>1$（其中 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），代入上式： $\frac{{\left(\frac{k+1}{k}\right)}^2-1}{2\left(\frac{k+1}{k}\right)}\ge \ln \left(\frac{k+1}{k}\right)$ 化简左边： $\frac{\frac{k^2+2k+1-k^2}{k^2}}{\frac{2(k+1)}{k}}=\frac{2k+1}{2k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{2k(k+1)}$ 右边为 $\ln (k+1)-\ln k$。 因为当 $x>1$ 时 $g(x)>g(1)=0$，故对于 $x=\frac{k+1}{k}>1$，严格不等式成立： $\frac{1}{k}-\frac{1}{2k(k+1)}>\ln (k+1)-\ln k$ 即： $\frac{1}{k}>\ln (k+1)-\ln k+\frac{1}{2k(k+1)}$

注意到 $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$，将上式分别取 $k=1,2,3,\dots ,n$ 累加： $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}>{\sum }_{k=1}^n\left[\ln (k+1)-\ln k\right]+\frac{1}{2}{\sum }_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)$

利用裂项相消法计算右侧两项和：

1. 第一项：$(\ln 2-\ln 1)+(\ln 3-\ln 2)+\cdots +(\ln (n+1)-\ln n)=\ln (n+1)$；
2. 第二项：$\frac{1}{2}\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right]=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{n}{2(n+1)}$。

两项相加即得： $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}>\ln (n+1)+\frac{n}{2(n+1)}(n\ge 1)$ 证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切线方程与导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立（分类讨论）、利用函数不等式构造累加放缩证明数列不等式。
2. 核心方法：第 (2) 问通过求导找到极值点与 $a$ 的关系进行分类讨论；第 (3) 问取边界值 $a=\frac{1}{2}$，通过代换 $x=\frac{k+1}{k}$ 将函数不等式转化为数列项不等式进行累加。
3. 避坑指南：第 (3) 问寻找放缩构造时，关键是识别第 (2) 问结论在临界点 $a=\frac{1}{2}$ 时的特殊形式，切忌盲目目测放缩。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修2-2第一章《导数及其应用》压轴题，结合了对数不等式 $\ln (1+t)<t-\frac{t^2}{2(1+t)}$ 的经典高等数学背景（泰勒展开放缩）。
2. 结论推广：调和级数前 $n$ 项和有精确估计 $1+\frac{1}{2}+\cdots +\frac{1}{n}=\ln n+\gamma +O\left(\frac{1}{n}\right)$（其中 $\gamma \approx 0.5772$ 为欧拉-马斯刻若尼常数）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式
• 2011-大纲卷理-22 解-导数不等式
• 2011-新课标卷文-21 解-对数函数切线与不等式