2011-辽宁卷文-04 单-存在命题的否定

本题导读

本题考查含量词命题的否定。

📌【题干】

Question

（2011年辽宁卷(文)） 已知命题 $p:\exists n\in \mathbf{N}$，$2^n>1000$，则 $\neg p$ 为 ()

A. $\forall n\in \mathbf{N}$，$2^n⩽1000$　B. $\forall n\in \mathbf{N}$，$2^n>1000$　C. $\exists n\in \mathbf{N}$，$2^n⩽1000$　D. $\exists n\in \mathbf{N}$，$2^n<1000$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1："$\exists$"改"$\forall$"
2. 步骤2：结论取否定

✅【答案】

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A$\forall n\in \mathbf{N}$，$2^n⩽1000$

✍【详细解析】

Abstract

特称命题”$\exists n\in M$，$p(n)$“的否定是全称命题”$\forall n\in M$，$\neg p(n)$“：量词 $\exists$ 换成 $\forall$，结论 $2^n>1000$ 否定为 $2^n⩽1000$。

故 $\neg p$：$\forall n\in \mathbf{N}$，$2^n⩽1000$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：存在量词与全称量词的否定；不等号方向的否定

核心方法：“换量词、否结论”两步走：$\exists \leftrightarrow \forall$，$>\leftrightarrow ⩽$

避坑指南：$>$ 的否定是 $⩽$ 而不是 $<$——漏掉等号会错选 D；量词必须互换，只否结论不换量词（选项 C）不是否定。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：命题的否定题与 2012-安徽卷文-04、2012-辽宁卷文-05 同族。

结论推广：推广：$\neg (\exists x,p(x))=\forall x,\neg p(x)$；$\neg (\forall x,p(x))=\exists x,\neg p(x)$。$>$ 的否定是 $⩽$，$⩾$ 的否定是 $<$。

方法推广：量词否定题：机械执行”换量词、否结论”，$>$ 与 $⩾$ 的否定方向务必含等号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2012-安徽卷文-04 单-存在命题的否定
• 2012-辽宁卷文-05 单-全称命题的否定