2009-辽宁卷文-11 单-量词与指对真命题

本题导读

考查量词与指对性质。$p_1$、$p_3$ 为假（取 $x=\frac{1}{2}$ 可否定），$p_2$、$p_4$ 为真（$x\in \left(0,\frac{1}{3}\right)$ 时 ${\log }_{\frac{1}{3}}x>1>{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$）。

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(文)） 下列 $4$ 个命题： $p_1$：$\exists x\in (0,+\infty )$，${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<{\left(\frac{1}{3}\right)}^x$； $p_2$：$\exists x\in (0,1)$，${\log }_{\frac{1}{2}}x>{\log }_{\frac{1}{3}}x$； $p_3$：$\forall x\in (0,+\infty )$，${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>{\log }_{\frac{1}{2}}x$； $p_4$：$\forall x\in \left(0,\frac{1}{3}\right)$，${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<{\log }_{\frac{1}{3}}x$. 其中的真命题是 ()

A. $p_1$，$p_3$　　　　B. $p_1$，$p_4$　　　　C. $p_2$，$p_3$　　　　D. $p_2$，$p_4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $p_1$：$x>0$ 时 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>{\left(\frac{1}{3}\right)}^x$（底大者大，指数为负次幂），假。
2. $p_2$：取 $x=\frac{1}{2}$，左边 $=1$，右边 $={\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{2}\approx 0.63$，真。
3. $p_3$：取 $x=\frac{1}{2}$，${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}<1={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}$，假。
4. $p_4$：$x\in \left(0,\frac{1}{3}\right)$ 时 ${\log }_{\frac{1}{3}}x>1$ 而 $0<{\left(\frac{1}{2}\right)}^x<1$，真。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$p_1$：$x>0$ 时，由 $0<\frac{1}{3}<\frac{1}{2}<1$ 及幂函数 $y=x^t$（$t<0$）在 $(0,+\infty )$ 上的性质（或两边取对数），${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>{\left(\frac{1}{3}\right)}^x$ 恒成立，$p_1$ 假。 $p_2$：取 $x=\frac{1}{2}$：${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1$，${\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{2}=\frac{\ln 2}{\ln 3}<1$，不等式成立，$p_2$ 真。 $p_3$：取 $x=\frac{1}{2}$：${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$，${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{2}=1$，此时 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<{\log }_{\frac{1}{2}}x$，$p_3$ 假。 $p_4$：$x\in \left(0,\frac{1}{3}\right)$ 时，${\log }_{\frac{1}{3}}x>{\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}=1$；又 $x>0$ 时 $0<{\left(\frac{1}{2}\right)}^x<1$。故 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<1<{\log }_{\frac{1}{3}}x$ 恒成立，$p_4$ 真。 真命题是 $p_2$，$p_4$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：全称量词与存在量词、指对性质

核心方法：逐个命题取特殊值或用值域判定

避坑指南：$p_3$ 用 $x=\frac{1}{2}$ 直接否定；$p_4$ 靠值域”两头夹”：${\log }_{\frac{1}{3}}x>1$ 而 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x<1$，中间夹出不等号方向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：量词命题真假判断常与指对函数结合。

结论推广：$x>0$ 时 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>{\left(\frac{1}{3}\right)}^x$（指数同为负，底大者大）。

方法推广：存在命题找”一个反例/正例”即可，全称命题必须对整个区间论证或找反例否定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2011-辽宁卷文-04 单-存在命题的否定
• 2009-新课标卷文-04 单-三角命题真假
• 2012-四川卷文-16 填-不等式真命题判断