2010-湖南卷理-02 单-指数

本题导读

本题考查含全称量词与存在量词命题真伪的判定。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 下列命题中是假命题的是 ()

A. $\forall x\in \mathbf{R},2^{x-1}>0$　　　　　　　　　　　　B. $\forall x\in {\mathbf{N}}^{\ast },(x-1{)}^2>0$

C. $\exists x\in \mathbf{R},\lg x<1$　　　　　　　　　　　　　　D. $\exists x\in \mathbf{R},\tan x=2$

🔍【思路分析】

破题导航

逐项分析命题：全称命题只需寻找一个反例即为假，存在命题只需举出一个特例即为真。

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

• A. 指数函数 $y=2^{x-1}$ 的值域为 $(0,+\infty )$，故对任意 $x\in \mathbf{R}$ 都有 $2^{x-1}>0$，为真命题；
• B. 取 $x=1\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，代入得 $(1-1{)}^2=0>0$ 不成立，故该全称命题为假命题；
• C. 取 $x=1\in \mathbf{R}$，$\lg 1=0<1$ 成立，为真命题；
• D. 正切函数 $y=\tan x$ 的值域为 $\mathbf{R}$，故存在 $x=\arctan 2\in \mathbf{R}$ 使得 $\tan x=2$，为真命题。 故选 B.。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：全称命题与特称命题的真伪判定。
2. 核心方法：否定全称命题只需找反例。
3. 避坑指南：注意 ${\mathbf{N}}^{\ast }$ 为正整数集，包含 $1$，此时 $(x-1{)}^2=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版选修1-1/2-1第一章《常用逻辑用语》例题。
2. 结论推广：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-21 解-指数型函数单调性
• 2011-上海卷理-20 解-指数函数
• 2011-北京卷文-18 解-含参指数函数最值