2010-湖南卷理-16 解-三角函数

本题导读

本题考查三角恒等变换（降幂公式与辅助角公式）及转化后的正弦型函数的最大值与零点集合的求解。

📌【题干】

Question

（2010年湖南卷(理)） 已知函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin 2x-2{\sin }^{2}x$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最大值；

(2) 求函数 $f(x)$ 的零点的集合.

🔍【思路分析】

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1. 利用二倍角降幂公式 $2{\sin }^{2}x=1-\cos 2x$ 将 $f(x)$ 变形为 $\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-1$。
2. 利用辅助角公式化简为 $f(x)=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-1$。
3. 由正弦函数的最大值直接求出 $f(x)$ 的最大值；令 $f(x)=0$ 转化为简单的三角方程求解 $x$ 的集合。

✅【答案】

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（1）由2sin2𝑥=1−cos2𝑥，得𝑓(𝑥)=√3sin2𝑥+cos2𝑥−1=2sin(2𝑥+π6)−1.

✍【详细解析】

Abstract

将 $f(x)$ 利用降幂公式进行化简： $f(x)=\sqrt{3}\sin 2x-(1-\cos 2x)=\sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x-1$ 利用辅助角公式变形为： $f(x)=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\frac{1}{2}\cos 2x\right)-1=2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-1$

(1) 求函数 $f(x)$ 的最大值： 因为对于任意 $x\in \mathbb{R}$，都有 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)\le 1$， 所以当 $\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=1$ 时，函数 $f(x)$ 取得最大值： $f(x{)}_{\max }=2\times 1-1=1$

(2) 求函数 $f(x)$ 的零点的集合： 令 $f(x)=0$，即： $2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)-1=0⟹\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{2}$

所以： $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})⟹2x=2k\pi ⟹x=k\pi (k\in \mathbb{Z})$ 或 $2x+\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})⟹2x=\frac{2\pi }{3}+2k\pi ⟹x=k\pi +\frac{\pi }{3}(k\in \mathbb{Z})$

故函数 $f(x)$ 的零点的集合为： $\left\{x|x=k\pi \text{ 或 }x=k\pi +\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\right\}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式与降幂公式、辅助角公式、三角方程的求解。
2. 核心方法：降幂 $\to$ 合一（辅助角）$\to$ 求最值/零点。
3. 避坑指南：第 (2) 问求解零点集合时，别漏写 $k\in \mathbb{Z}$，且注意正弦值为 $\frac{1}{2}$ 在一周期内对应两个解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于人教A版必修四《三角恒等变换》中形如 $f(x)=a\sin 2x+b\cos 2x+c$ 的标准化简求解题。
2. 结论推广：函数 $f(x)=A\sin 2x+B\cos 2x+C$ 的最大值为 $\sqrt{A^2+B^2}+C$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数