2010-福建卷文-04 单-复数幂运算

本题导读

考查复数运算。$\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$，${\mathrm{i}}^4=1$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） $\mathrm{i}$ 是虚数单位，${\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)}^4$ 等于()

A. $\mathrm{i}$　　　　　　　B. $-\mathrm{i}$　　　　　　　C. $1$　　　　　　　D. $-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分母实数化：$\frac{(1+\mathrm{i}{)}^2}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{2\mathrm{i}}{2}=\mathrm{i}$。
2. 原式 $={\mathrm{i}}^4=({\mathrm{i}}^2{)}^2=(-1{)}^2=1$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i}{)}^2}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{1+2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2}{2}=\frac{2\mathrm{i}}{2}=\mathrm{i}.$ 于是 ${\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)}^4={\mathrm{i}}^4={\left({\mathrm{i}}^2\right)}^2=(-1{)}^2=1.$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数除法与虚数单位幂

核心方法：分母实数化得 $\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=\mathrm{i}$，再用 $\mathrm{i}$ 的幂周期

避坑指南：$(1+\mathrm{i}{)}^2=2\mathrm{i}$ 别丢 $\mathrm{i}$ 的系数；${\mathrm{i}}^4=1$，负指数与高次幂都化归到 ${\mathrm{i}}^{4k+r}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：共轭复数之积是分母实数化的标准武器：$(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})=2$。

结论推广：$\mathrm{i}$ 的幂以 $4$ 为周期：${\mathrm{i}}^{4k}=1$，${\mathrm{i}}^{4k+1}=\mathrm{i}$。

方法推广：形如 ${\left(\frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}\right)}^n$ 的题先化简底数再算幂，不要硬乘。

🔗【关联脉络】

Multi column

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类题演练 (Links)

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• 2009-天津卷文-01 单-复数除法
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