2009-天津卷文-01 单-复数除法

本题导读

考查复数除法。$\frac{5\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}$ 同乘共轭 $(2+\mathrm{i})$，分母化为 $5$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） $\mathrm{i}$ 是虚数单位，$\frac{5\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}=$ ()

A. $1+2\mathrm{i}$　　　　　B. $-1-2\mathrm{i}$　　　　　C. $1-2\mathrm{i}$　　　　　D. $-1+2\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分母实数化：$\frac{5\mathrm{i}(2+\mathrm{i})}{(2-\mathrm{i})(2+\mathrm{i})}=\frac{10\mathrm{i}+5{\mathrm{i}}^2}{5}$。
2. ${\mathrm{i}}^2=-1$：分子 $=10\mathrm{i}-5$，除以 $5$ 得 $-1+2\mathrm{i}$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{5\mathrm{i}}{2-\mathrm{i}}=\frac{5\mathrm{i}(2+\mathrm{i})}{(2-\mathrm{i})(2+\mathrm{i})}=\frac{10\mathrm{i}+5{\mathrm{i}}^2}{4+1}=\frac{-5+10\mathrm{i}}{5}=-1+2\mathrm{i}$， 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法运算

核心方法：分母实数化

避坑指南：${\mathrm{i}}^2=-1$ 的负号别丢：分子 $10\mathrm{i}+5{\mathrm{i}}^2=-5+10\mathrm{i}$，结果是 $-1+2\mathrm{i}$ 而非 $1+2\mathrm{i}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法是天津卷首题固定考点。

结论推广：$\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{c^2+d^2}$。

方法推广：先算分母 $(2-\mathrm{i})(2+\mathrm{i})=5$，再处理分子，两步走不出错。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-天津卷文-01 单-复数除法运算
• 2011-北京卷文-02 单-复数除法运算
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