2012-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线方程

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的渐近线。

📌【题干】

Question

（2012年湖南卷(文)） 已知双曲线 $C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的焦距为 $10$，点 $P(2,1)$ 在 $C$ 的渐近线上，则 $C$ 的方程为()

A. $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$　B. $\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1$　C. $\frac{x^2}{80}-\frac{y^2}{20}=1$　D. $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{80}=1$

🔍【思路分析】

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焦距 $10$ 给出 $a^2+b^2=25$，点 $(2,1)$ 在渐近线上给出 $b/a=1/2$，解得 $a^2=20$，$b^2=5$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

焦距为 $10$，故 $2c=10$，$c=5$，即 $a^2+b^2=25$。

双曲线的渐近线为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。点 $P(2,1)$ 在渐近线上，故 $1=\frac{b}{a}\times 2$，即 $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$，$a^2=4b^2$。

代入 $a^2+b^2=25$ 得 $5b^2=25$，$b^2=5$，$a^2=20$。

所以 $C$ 的方程为 $\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：焦距与 $a^2+b^2=c^2$；渐近线 $y=\pm (b/a)x$ 上的点满足比例关系

核心方法：两个条件列两个方程（$c$ 与渐近线斜率），解出 $a^2,b^2$

避坑指南：焦距是 $2c=10$ 而不是 $c=10$；渐近线斜率取正的那条代入即可，别把 $b/a$ 与 $a/b$ 颠倒（颠倒会误选 B）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线方程待定系数题，与 2013 年福建卷文第 4 题、2013 年新课标Ⅰ文第 4 题同族。

结论推广：渐近线 $y=\pm \frac{b}{a}x$ 上的点 $(x_0,y_0)$ 满足 $\frac{b}{a}=\left|\frac{y_0}{x_0}\right|$（当两渐近线对称时）。

方法推广：双曲线填两个未知量的问题，优先从”焦距（或离心率）+ 渐近线（或点）“两组条件列方程组。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷文-04 单-双曲线渐近线距离
• 2013-新课标I卷文-04 单-双曲线渐近线
• 2014-新课标I卷文-04 单-双曲线离心率