2010-福建卷文-20 解-长方体线面平行与几何概型

本题导读

考查线面平行与几何概型。$AD\parallel EH$，$A\notin$ 平面 $EFGH$；$u=B_{1}E$，$v=B_{1}F$，$u^2+v^2=a^2$，$p=1-\frac{uv}{4a^2}⩾\frac{7}{8}$，最小值 $\frac{7}{8}$。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(文)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$E$，$H$ 分别是棱 $A_1{B}_1$，$D_1{C}_1$ 上的点（点 $E$ 与 $B_1$ 不重合），且 $EH\parallel A_1{D}_1$. 过 $EH$ 的平面与棱 $B{B}_1$，$C{C}_1$ 相交，交点分别为 $F$，$G$.

(1) 证明：$AD\parallel$ 平面 $EFGH$；

(2) 设 $AB=2A{A}_1=2a$. 在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 内随机选取一点. 记该点取自几何体 $A_{1}ABFE-D_{1}DCGH$ 内的概率为 $p$，当点 $E$，$F$ 分别在棱 $A_1{B}_1$，$B_{1}B$ 上运动且满足 $EF=a$ 时，求 $p$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) $EH\parallel A_1{D}_1$，$A_1{D}_1\parallel AD$，故 $AD\parallel EH\subset$ 平面 $EFGH$。
2. 若 $AD\subset$ 平面 $EFGH$，则 $A$、$E$、$F$ 共线（平面 $EFGH$ 与平面 $AB{B}_1{A}_1$ 的交线为 $EF$）；在矩形 $AB{B}_1{A}_1$ 中，过 $A$ 与 $B{B}_1$ 上一点 $F$ 的直线与 $A_1{B}_1$ 的交点只能是 $B_1$，与 $E$ 与 $B_1$ 不重合矛盾。故 $AD$ 不在平面 $EFGH$ 内，得证。
3. (2) 截面（平行 $AD$）内：矩形 $2a\times a$，几何体截面 = 矩形减去直角三角形 $E{B}_{1}F$。
4. 设 $u=B_{1}E$，$v=B_{1}F$，$EF=a\Rightarrow u^2+v^2=a^2$，$p=\frac{2a^2-\frac{1}{2}uv}{2a^2}=1-\frac{uv}{4a^2}$。
5. $uv⩽\frac{u^2+v^2}{2}=\frac{a^2}{2}$，$p⩾1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$，$u=v=\frac{a}{\sqrt{2}}$ 时取等。

✅【答案】

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(1) 见解析

(2) $p$ 的最小值为 $\frac{7}{8}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为 $EH\parallel A_1{D}_1$，$A_1{D}_1\parallel AD$，所以 $AD\parallel EH$，且 $EH\subset$ 平面 $EFGH$. 只需说明 $AD$ 不在平面 $EFGH$ 内. 若 $AD\subset$ 平面 $EFGH$，则 $A\in$ 平面 $EFGH$； 又 $E$，$F$ 都在平面 $AB{B}_1{A}_1$ 内，故 $A$ 落在两平面交线 $EF$ 上，即 $A$，$E$，$F$ 三点共线. 在矩形 $AB{B}_1{A}_1$ 中（$A{A}_1=a$，$AB=2a$），过点 $A$ 与棱 $B{B}_1$ 上一点 $F$ 的直线，与直线 $A_1{B}_1$ 的交点只能是 $B_1$（因为该直线与 $A_1{B}_1$ 的交点横坐标不小于 $2a$）， 即若 $A$，$E$，$F$ 共线必有 $E$ 与 $B_1$ 重合，与题设矛盾. 所以 $AD$ 不在平面 $EFGH$ 内，故 $AD\parallel$ 平面 $EFGH$. (2) 平面 $EFGH$ 与平面 $AB{B}_1{A}_1$ 的交线为 $EF$，且截面沿 $AD$ 方向平移保持不变，故概率等于对应截面面积之比. 记 $u=B_{1}E=2a-A_{1}E>0$，$v=B_{1}F=a-B_{1}F⩾0$. 由 $EF=a$ 得 $u^2+v^2=a^2.$ 截面内，长方体的截面矩形面积为 $2a\times a=2a^2$，几何体 $A_{1}ABFE-D_{1}DCGH$ 的截面面积等于矩形面积减去直角三角形 $E{B}_{1}F$ 的面积 $\frac{1}{2}uv$，即 $2a^2-\frac{1}{2}uv$. 故 $p=\frac{2a^2-\frac{1}{2}uv}{2a^2}=1-\frac{uv}{4a^2}.$ 由 $(u-v{)}^2⩾0$ 得 $2uv⩽u^2+v^2=a^2$，即 $uv⩽\frac{a^2}{2}$，当 $u=v=\frac{a}{\sqrt{2}}$ 时取等号（此时 $E$，$F$ 的位置满足题设）. 因此 $p⩾1-\frac{1}{4a^2}\cdot \frac{a^2}{2}=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8},$ 所以 $p$ 的最小值为 $\frac{7}{8}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行与几何概型的截面法

核心方法：$AD\parallel EH$ 加”$AD$ 不在平面内”；概率 = 截面面积比，用基本不等式求最值

避坑指南：证 $AD$ 不在平面 $EFGH$ 内时，”$A$、$E$、$F$ 共线 $\Rightarrow E=B_1$“的坐标/相似论证不能省；$p=1-\frac{uv}{4a^2}$ 中 $u$、$v$ 的定义（$B_{1}E$、$B_{1}F$）要写清，$u>0$ 由 $E$ 与 $B_1$ 不重合保证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：几何概型求体积比困难时，若几何体沿某方向平移不变，可降维为截面面积比。

结论推广：$u^2+v^2=a^2$ 下 $uv$ 的最大值由 $(u-v{)}^2⩾0$ 给出，是二元最值的标配。

方法推广：线面平行证明的标准结构：线线平行 + 线在面外，两半缺一不可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2012-福建卷文-19 解-长方体体积与线面垂直
• 2011-福建卷文-07 单-几何概型面积
• 2009-江苏卷-16 解-线面平行面面垂直
• 2011-江苏卷-16 解-线面平行与面面垂直