2010-福建卷理-13 填-概率

本题导读

本题考查相互独立事件概率的计算，核心在于准确列举并分析“恰好在第 $4$ 个问题晋级”的答题序列。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 $5$ 个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮. 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 $0.8$，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 $4$ 个问题就晋级下一轮的概率等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 记回答正确为 $T$（概率 $p=0.8$），回答错误为 $F$（概率 $q=0.2$）。
2. 恰好在第 $4$ 题晋级要求：第 $3,4$ 题必须连续答对（即 $T_3{T}_4$），且在前 $3$ 题回答过程中不能出现连续两次答对提前晋级。
3. 分析各题对错状态，推出第 $2$ 题必须回答错误（$F_2$），第 $1$ 题可对可错，进而计算概率。

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$0.128$（或 $\frac{16}{125}$）

✍【详细解析】

Abstract

设第 $i$ 题答对为 $T_i$，答错为 $F_i$ ($i=1,2,3,4$)。

由规则“恰好回答 $4$ 个问题晋级”可知：

• 第 $3$ 题和第 $4$ 题必须答对，即 $T_3,T_4$；
• 若第 $2$ 题答对（$T_2$），则序列在第 $3$ 题结束时已有连续两次答对 $T_2{T}_3$，会在第 $3$ 题提前晋级。因此第 $2$ 题必须答错，即 $F_2$；
• 第 $1$ 题无论答对或答错（$T_1$ 或 $F_1$），序列都不可能在第 $2$ 或第 $3$ 题提前晋级（因为第 $2$ 题已错）。

符合要求的序列有两种互斥情况：

1. $T_1{F}_2{T}_3{T}_4$，概率为：$0.8\times 0.2\times 0.8\times 0.8=0.1024$；
2. $F_1{F}_2{T}_3{T}_4$，概率为：$0.2\times 0.2\times 0.8\times 0.8=0.0256$。

故该选手恰好回答 $4$ 个问题晋级的总概率为： $P=0.1024+0.0256=0.128\left(\text{或 }1\times 0.2\times 0.8\times 0.8=0.128\right)$

故答案为 $0.128$（或 $\frac{16}{125}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相互独立事件概率乘法公式。
2. 核心方法：穷举符合题意的状态序列并用独立重复试验概率公式求解。
3. 避坑指南：注意“提前终止”条件对前几步结果的约束（如第 $2$ 题不能答对，防止第 $3$ 题提前结束）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 改编自概率论中“成功游程（Run）与首次到达时间”问题。
2. 结论推广: 若连续成功 $k$ 次即停止，恰在第 $n$ 次停止的事件，末尾 $k$ 次必须全部成功，且第 $n-k$ 次必须失败。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率
• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率