2010-福建卷理-14 填-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的对称性、周期性以及整体代换法求三角函数在闭区间上的值域。

📌【题干】

Question

（2010年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)=3\sin \left(\omega x-\frac{\pi }{6}\right)$ ($\omega >0$) 和 $g(x)=2\cos (2x+\phi )+1$ 的图象的对称轴完全相同. 若 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$，则 $f(x)$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由两函数图象的对称轴完全相同，可知两函数的周期相等，从而求得 $\omega =2$。
2. 确定 $f(x)=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。
3. 根据自变量范围 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 求出整体角 $2x-\frac{\pi }{6}$ 的范围。
4. 利用正弦函数的性质求出 $f(x)$ 的取值范围（值域）。

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$\left[-\frac{3}{2},3\right]$

✍【详细解析】

Abstract

因为函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的对称轴完全相同，所以它们的最小正周期相等。 即 $T_f=T_g⟹\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}⟹\omega =2$。

因此 $f(x)=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。

当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 时： $2x\in [0,\pi ]⟹2x-\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$

在区间 $\left[-\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right]$ 上：

• 当 $2x-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$（即 $x=\frac{\pi }{3}$）时，$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最大值 $1$；
• 当 $2x-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$（即 $x=0$）时，$\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 取得最小值 $-\frac{1}{2}$。

所以： $\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\in \left[-\frac{1}{2},1\right]$

故 $f(x)=3\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)\in \left[-\frac{3}{2},3\right]$。

故答案为 $\left[-\frac{3}{2},3\right]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的周期与对称轴关系、整体换元求三角函数值域。
2. 核心方法：由对称轴完全相同推导出周期相等；利用“整体代换法”控制角的范围。
3. 避坑指南：注意在闭区间上求值域时，必须结合正弦曲线在该角范围内的图象性质，不能只计算端点值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源自必修四三角函数的图象与性质综合应用题。
2. 结论推广: 若两个正弦/余弦函数的对称轴完全相同，则它们的周期必定相等（即 $|{\omega }_1|=|{\omega }_2|$）且相位满足特定等量关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-北京卷理-15 解-三角函数
• 2011-大纲卷文-14 填-同角三角函数