2010-辽宁卷文-08 单-向量数量积与面积

本题导读

考查数量积与面积。$S=\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(文)） 平面上 $O,A,B$ 三点不共线，设 $\overrightarrow{OA}=\mathbf{a}$，$\overrightarrow{OB}=\mathbf{b}$，则 $△OAB$ 的面积等于()

A. $\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}$　　　　　　　　B. $\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}$

C. $\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2+(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $S=\frac{1}{2}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$。
2. $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }$，$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$。
3. $S=\frac{1}{2}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sqrt{1-\frac{(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 $\theta$（$0<\theta <\pi$，$\sin \theta >0$）。 $S=\frac{1}{2}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta =\frac{1}{2}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sqrt{1-{\cos }^2\theta }.$ 由 $\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}$， $S=\frac{1}{2}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sqrt{1-\frac{(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2}.$ 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数量积与三角形面积

核心方法：$S=\frac{1}{2}|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta$ 中的 $\sin \theta$ 用 $\cos \theta$ 与数量积互换

避坑指南：系数 $\frac{1}{2}$ 从面积公式来，根号内是减号（${\sin }^2=1-{\cos }^2$）；$O,A,B$ 不共线保证 $\sin \theta >0$，开方无需讨论符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：恒等式 $|\mathbf{a}\times \mathbf{b}{|}^2=|\mathbf{a}{|}^2|\mathbf{b}{|}^2-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}{)}^2$ 是拉格朗日恒等式。

结论推广：向量形式面积公式常用于坐标化：$S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$。

方法推广：数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$ 是角与向量的翻译器。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练 (Links)

• 2009-福建卷文-12 单-向量数量积与面积
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积
• 2009-陕西卷文-08 单-向量中点数量积
• 2009-天津卷文-15 填-向量基底数量积