2010-辽宁卷理-03 单-概率

本题导读

本题考查独立事件与互斥事件概率的计算，重点在于将“恰有一个一等品”分解为两个互斥的独立事件组合。

📌【题干】

Question

（2010年辽宁卷(理)） （2010·辽宁理3）两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　B. $\frac{5}{12}$　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　D. $\frac{1}{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 记第 1 个实习生加工出正品为事件 $A$，第 2 个实习生加工出正品为事件 $B$。已知 $PA.=\frac{2}{3},PB.=\frac{3}{4}$。
2. “恰有一个一等品”包含两种互斥情况：第 1 个是一等品且第 2 个不是（$A\overline{B}$），或第 1 个不是一等品且第 2 个是（$\overline{A}B$）。
3. 根据独立事件乘法公式与互斥事件加法公式计算概率。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 设事件 $A$ 为“第一位实习生加工出一等品”，事件 $B$ 为“第二位实习生加工出一等品”。 由题意，$PA.=\frac{2}{3}$，$PB.=\frac{3}{4}$。 对立事件概率分别为： $P(\overline{A})=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3},P(\overline{B})=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$

“这两个零件中恰有一个一等品”对应事件 $A\overline{B}\cup \overline{A}B$。 由于事件 $A,B$ 相互独立，且 $A\overline{B}$ 与 $\overline{A}B$ 互斥，所求概率为： $P=P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)=PA.P(\overline{B})+P(\overline{A})PB.$ $P=\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{2}{12}+\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$

故选 B>

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立事件概率乘法公式 $P(AB)=PA.PB.$ 及互斥事件加法公式。
2. 核心方法：正确将复杂事件分解为互相独立且彼此互斥的简单事件。
3. 避坑指南：容易漏掉“第一个不是、第二个是”的情况，或错误地将两概率直接相加。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自概率论基础古典概型与独立试验模型，属于高考概率领域的必考基础题型。
2. 结论推广：若 $n$ 个独立事件发生的概率分别为 $p_1,p_2,\dots ,p_n$，则恰有 1 个发生的概率为 ${\sum }_{i=1}^n\left(p_i{\prod }_{j\ne i}(1-p_j)\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
• 2011-北京卷文-16 解-茎叶图与概率
• 2011-大纲卷文-19 解-独立事件概率